Puissances et notation scientifique en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de puissances et notation scientifique pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Puissances d'un nombre à exposant entier positif : définition
- Puissances de 10 à exposant positif ou négatif
- Préfixes de nano à giga
- Notation scientifique
- Comparer des nombres et estimer des ordres de grandeur
- Calculer sur les puissances à partir de la définition (sans formule générale)
Puissances d'un nombre à exposant entier positif
Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$, la puissance $a^n$ (lue « $a$ exposant $n$ ») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ : $a^n = a \times a \times \dots \times a$. Le nombre $n$ s'appelle l'exposant. Par convention, $a^1 = a$. Pour un nombre négatif, attention au signe : un produit contenant un nombre pair de facteurs négatifs est positif, un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.
Exemple
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ; $5^2 = 25$ ; $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ ; $(-3)^2 = 9$. Attention : $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$, car l'exposant ne porte que sur 3.
À retenir : $a^n$ = produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; ne pas confondre $2^3 = 8$ avec $2 \times 3 = 6$.
Puissances de 10 à exposant positif ou négatif
Pour $n$ entier positif, $10^n$ s'écrit avec un 1 suivi de $n$ zéros. Par convention, $10^0 = 1$. Pour les exposants négatifs, $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ : c'est un nombre décimal qui s'écrit avec $n$ chiffres après la virgule, le dernier étant 1.
Exemple
$10^3 = 1\,000$ ; $10^6 = 1\,000\,000$ ; $10^{-1} = 0{,}1$ ; $10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001$. Multiplier par $10^3$ décale les chiffres de 3 rangs vers la gauche : $2{,}5 \times 10^3 = 2\,500$ ; multiplier par $10^{-2}$ revient à diviser par 100 : $37 \times 10^{-2} = 0{,}37$.
À retenir : $10^n$ = 1 suivi de $n$ zéros ; $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ = 0,0…01 avec $n$ chiffres après la virgule.
Préfixes de nano à giga
Les préfixes des unités correspondent à des puissances de 10 : giga (G) $= 10^9$, méga (M) $= 10^6$, kilo (k) $= 10^3$, milli (m) $= 10^{-3}$, micro (µ) $= 10^{-6}$, nano (n) $= 10^{-9}$.
Exemple
Une clé USB de 32 Go contient $32 \times 10^9$ octets. Un kilomètre vaut $10^3$ m. Un nanomètre vaut $10^{-9}$ m : c'est l'ordre de grandeur de la taille de certaines molécules. Un micromètre vaut $10^{-6}$ m.
À retenir : G = $10^9$ ; M = $10^6$ ; k = $10^3$ ; m = $10^{-3}$ ; µ = $10^{-6}$ ; n = $10^{-9}$.
Notation scientifique
Tout nombre décimal strictement positif peut s'écrire sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ un entier relatif. Pour un nombre strictement négatif, on écrit $-a \times 10^n$ avec la même condition sur $a$. C'est la notation scientifique ; elle est pratique pour les très grands et les très petits nombres.
Exemple
La distance Terre-Soleil est d'environ 150 000 000 km, soit $1{,}5 \times 10^8$ km. $0{,}0005 = 5 \times 10^{-4}$. En revanche, $25 \times 10^3$ n'est pas une notation scientifique (car $25 \geq 10$) : on écrit $2{,}5 \times 10^4$.
À retenir : Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$.
Comparer des nombres et estimer des ordres de grandeur
Pour comparer deux nombres positifs écrits en notation scientifique, on compare d'abord les exposants de 10 : le plus grand exposant donne le plus grand nombre ; si les exposants sont égaux, on compare les nombres $a$. Donner un ordre de grandeur, c'est remplacer un nombre par une valeur approchée simple, souvent une puissance de 10, pour estimer un résultat ou contrôler un calcul.
Exemple
$3{,}2 \times 10^5 < 1{,}1 \times 10^6$ car $5 < 6$ ($320\,000 < 1\,100\,000$). Un téléphone pèse environ 200 g et un éléphant environ 5 000 kg, soit 5 000 000 g : comme $5\,000\,000 \div 200 = 25\,000$, l'éléphant est environ 25 000 fois plus lourd, de l'ordre de $10^4$ fois.
À retenir : On compare d'abord les puissances de 10, puis les nombres $a$ ; l'ordre de grandeur sert à estimer et à vérifier.
Calculer sur les puissances à partir de la définition
En 4e, on calcule des produits et des quotients de puissances en revenant à la définition : on écrit les facteurs, puis on les compte. Aucune formule générale n'est à apprendre.
Exemple
$2^3 \times 2^2 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2)$ : il y a 5 facteurs égaux à 2, donc $2^3 \times 2^2 = 2^5 = 32$. $10^2 \times 10^3 = 100 \times 1\,000 = 100\,000 = 10^5$. $\frac{10^5}{10^2} = \frac{100\,000}{100} = 1\,000 = 10^3$.
À retenir : En cas de doute, j'écris tous les facteurs et je les compte.
Les points clés
- $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ ; attention au signe pour les nombres négatifs
- $10^n$ = 1 suivi de $n$ zéros ; $10^0 = 1$ ; $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$
- Préfixes : giga $10^9$, méga $10^6$, kilo $10^3$, milli $10^{-3}$, micro $10^{-6}$, nano $10^{-9}$
- Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif
- Pour comparer, on regarde d'abord l'exposant de 10 ; l'ordre de grandeur sert à estimer
- Les calculs sur les puissances se font en revenant à la définition
L'essentiel
Une puissance est une écriture raccourcie d'une multiplication répétée. Les puissances de 10, les préfixes et la notation scientifique permettent d'écrire, de comparer et d'estimer les très grands et les très petits nombres.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Écris les nombres suivants en notation scientifique : a) 45 000 ; b) 0,0032 ; c) 250 000 000. Range-les ensuite dans l'ordre croissant.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
En revenant à la définition, calcule et écris sous la forme d'une seule puissance : a) $2^3 \times 2^4$ ; b) $\frac{3^6}{3^2}$ ; c) $10^4 \times 10^{-1}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →