Puissances et notation scientifique en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de puissances et notation scientifique pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Puissances d'un nombre à exposant entier positif : définition
- Puissances de 10 à exposant positif ou négatif
- Préfixes de nano à giga
- Notation scientifique
- Comparer des nombres et estimer des ordres de grandeur
- Calculer sur les puissances à partir de la définition (sans formule générale)
Définition des puissances d'un nombre
Une puissance est une façon raccourcie d'écrire une multiplication répétée du même nombre. Par exemple, $2^3$ signifie $2 \times 2 \times 2$. Le petit nombre en haut s'appelle l'exposant, il indique combien de fois on multiplie.
Exemple
Une personne envoie une vidéo à 3 amis ; chacun la renvoie à 3 autres amis, qui la renvoient chacun à 3 personnes. Au troisième envoi, $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ personnes la reçoivent.
À retenir : $a^n$ signifie multiplier $a$ par lui-même $n$ fois.
Règles de calcul avec les puissances
En 4e, les calculs sur les puissances se font à partir de la définition, sans formule à apprendre. Par exemple, $2^3 \times 2^2 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2) = 2^5$ : on constate que les exposants s'ajoutent.
Exemple
Un laboratoire a $10^2$ boîtes contenant chacune $10^3$ bactéries. Au total : $10^2 \times 10^3 = 100 \times 1\,000 = 100\,000 = 10^5$ bactéries.
À retenir : Multiplier deux puissances d'un même nombre revient à additionner les exposants ; en cas de doute, reviens à la définition en écrivant les produits.
Puissances de 10 et calculs rapides
Les puissances de 10 servent à écrire les grands nombres : $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1\,000$. Elles servent aussi pour les petits nombres, avec des exposants négatifs : $10^{-1} = 0{,}1$, $10^{-2} = 0{,}01$, $10^{-3} = 0{,}001$.
Exemple
La population mondiale est environ 8 milliards, soit $8 \times 10^9$ personnes. C'est beaucoup plus simple à écrire que 8 000 000 000.
À retenir : Pour $n$ entier positif, $10^n$ s'écrit 1 suivi de $n$ zéros et $10^{-n} = \frac{1}{10^n}$ s'écrit avec $n$ chiffres après la virgule (par exemple $10^{-4} = 0{,}0001$).
Notation scientifique
La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a \times 10^n$ où $1 \leq a < 10$ et $n$ est un entier relatif. Cela permet de comparer facilement les très grands ou très petits nombres.
Exemple
La distance Terre-Soleil est 150 000 000 km, soit $1{,}5 \times 10^8$ km en notation scientifique. De même, 0,0005 = $5 \times 10^{-4}$. C'est plus facile à lire et à comparer avec d'autres distances.
À retenir : Notation scientifique : un seul chiffre non nul avant la virgule, multiplié par une puissance de 10.
Ordre de grandeur et comparaison
Donner un ordre de grandeur, c'est remplacer un nombre par une valeur approchée simple (souvent une puissance de 10, ou un nombre avec un seul chiffre non nul) pour estimer ou comparer rapidement.
Exemple
Un téléphone pèse environ 200 g, soit $2 \times 10^2$ g. Un éléphant pèse environ 5 000 kg, soit $5 \times 10^6$ g. Comme $\frac{5 \times 10^6}{2 \times 10^2} = 2{,}5 \times 10^4$, l'éléphant est environ 25 000 fois plus lourd.
À retenir : L'ordre de grandeur aide à estimer et comparer rapidement sans calculer précisément.
Les points clés
- Une puissance $a^n$ = multiplier $a$ par lui-même $n$ fois
- Pour multiplier des puissances du même nombre, on additionne les exposants
- La notation scientifique s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$
- Les puissances de 10 permettent d'écrire les grands nombres simplement
- L'ordre de grandeur compare les nombres en utilisant les puissances de 10
L'essentiel
Les puissances sont une écriture raccourcie pour les multiplications répétées, et la notation scientifique permet de manipuler facilement les très grands et très petits nombres.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Écris les nombres suivants en notation scientifique : a) 45 000 b) 0,0032 c) 250 000 000
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Calcule en utilisant les règles des puissances : a) $2^3 \times 2^4$ b) $10^5 \times 10^2$ c) $\frac{3^6}{3^2}$
Corrige cet exercice avec le tuteur →