Fractions et nombres relatifs — calculs avancés en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fractions et nombres relatifs — calculs avancés pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Multiplication et division de nombres relatifs
- Règles des signes
- Produit de plusieurs relatifs
- Fractions avec numérateurs/dénominateurs relatifs
- Puissances de 10 et notation scientifique
- Racine carrée et approximations
Multiplication de nombres relatifs
Multiplier deux nombres relatifs, c'est trouver le résultat en tenant compte de leurs signes. Le signe du résultat dépend des signes des deux nombres.
Exemple
Si tu dois 5 euros à 3 personnes différentes, tu dois 15 euros au total : (-5) × 3 = -15. C'est comme compter des dettes.
À retenir : Positif × Positif = Positif ; Négatif × Négatif = Positif ; Positif × Négatif = Négatif
Division de nombres relatifs
Diviser deux nombres relatifs, c'est partager en tenant compte des signes. La règle des signes pour la division est la même que pour la multiplication.
Exemple
Si une dette de 20 euros (notée $-20$) est partagée entre 4 amis, chacun doit 5 euros : $(-20) \div 4 = -5$.
À retenir : Les règles des signes sont identiques à la multiplication : négatif ÷ négatif = positif
Règles des signes complètes
Les règles des signes permettent de déterminer rapidement le signe d'un résultat sans faire le calcul. Elles s'appliquent à la multiplication et la division.
Exemple
$(-2) \times (-3) = 6$ (signes identiques) ; $12 \div (-4) = -3$ (signes différents) ; $(-15) \div (-5) = 3$.
À retenir : Deux signes identiques donnent un résultat positif ; deux signes différents donnent un résultat négatif
Produit de plusieurs nombres relatifs
Quand on multiplie plus de deux nombres relatifs, on compte le nombre total de facteurs négatifs pour déterminer le signe du résultat final.
Exemple
Calculer (-2) × (-3) × 4 × (-1) : il y a 3 facteurs négatifs (nombre impair), donc le résultat est négatif : -24.
À retenir : Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, le résultat est négatif
Fractions avec numérateurs et dénominateurs relatifs
Une fraction peut avoir un numérateur ou un dénominateur négatif (ou les deux). On applique les règles des signes pour simplifier et calculer.
Exemple
La fraction $\frac{-6}{3} = -2$ ou $\frac{6}{-3} = -2$ ou $\frac{-6}{-3} = 2$. C'est comme diviser une dette.
À retenir : On peut déplacer le signe négatif au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction : $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$
Puissances de 10 et notation scientifique
La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a \times 10^n$ où $1 \leq a < 10$ et $n$ est un entier relatif. C'est utile pour les très grands ou très petits nombres.
Exemple
La distance Terre-Soleil est environ 150 000 000 km, ce qui s'écrit $1{,}5 \times 10^8$ km. Un virus mesure environ 0,0001 mm, soit $1 \times 10^{-4}$ mm.
À retenir : Pour $n$ entier positif, $10^n$ s'écrit 1 suivi de $n$ zéros et $10^{-n}$ s'écrit avec $n$ chiffres après la virgule (par exemple $10^{-3} = 0{,}001$).
Racine carrée et approximations
La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne $a$. On l'approxime souvent car elle n'est pas toujours un nombre entier.
Exemple
La racine carrée de 9 est 3 car $3 × 3 = 9$. La racine carrée de 10 est environ 3,16 car $3{,}16 × 3{,}16 ≈ 10$.
À retenir : $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ ; les carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25… jusqu'à 144) doivent être connus par cœur : par exemple $\sqrt{49} = 7$.
Les points clés
- Les règles des signes : deux signes identiques donnent positif, deux signes différents donnent négatif
- Pour un produit de plusieurs relatifs, compter les facteurs négatifs : nombre pair = résultat positif, nombre impair = résultat négatif
- La notation scientifique $a × 10^n$ permet d'écrire facilement les très grands et très petits nombres
- Les carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) doivent être mémorisés : leurs racines carrées sont des entiers
- Une fraction négative peut s'écrire de trois façons équivalentes avec le signe placé différemment
L'essentiel
Les règles des signes (deux signes identiques donnent un résultat positif, deux signes différents un résultat négatif) s'appliquent à la multiplication, à la division et donc aux fractions ; la notation scientifique et la racine carrée complètent les outils de calcul.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Calcule : $(-3) × (-4) × 2 × (-1)$. Quel est le signe du résultat ? Justifie.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Écris en notation scientifique : 45 000 et 0,0032. Puis calcule $\frac{45000}{0{,}0032}$ en utilisant la notation scientifique.
Corrige cet exercice avec le tuteur →