Géométrie du triangle : Pythagore, Thalès, trigonométrie en 3ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie du triangle : pythagore, thalès, trigonométrie pour les élèves de 3ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Théorème de Pythagore et sa réciproque
- Théorème de Thalès dans la configuration de deux triangles
- Réciproque du théorème de Thalès
- Cosinus, sinus, tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle
- Calcul de longueurs et d'angles
- Démontrer qu'un triangle est rectangle ; qu'une droite est parallèle à une autre
Théorème de Pythagore : rappel
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C'est une relation mathématique fondamentale pour calculer des longueurs.
Exemple
Un électricien pose une échelle contre un mur : le mur fait 3 m de haut au point d'appui et le pied de l'échelle est à 4 m du mur. L'échelle (hypoténuse) mesure $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ m.
À retenir : Si ABC est rectangle en A, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (BC est l'hypoténuse). Plus généralement : $a^2 + b^2 = c^2$ où $c$ est l'hypoténuse.
Réciproque de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (l'angle droit est opposé au plus long côté). On l'utilise pour prouver qu'un triangle est rectangle. Si l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.
Exemple
Un menuisier veut vérifier que son cadre est bien rectangulaire. Il mesure deux côtés consécutifs (60 cm et 80 cm) et la diagonale (100 cm). Il calcule séparément : $60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000$ et $100^2 = 10\,000$. Les deux résultats sont égaux, donc le triangle formé est rectangle : le cadre a bien un angle droit.
À retenir : Si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
Théorème de Thalès
Soit ABC un triangle, M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC). Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles : $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$. Le théorème s'applique aussi dans la configuration « papillon » (M et N de part et d'autre de A). Il sert à calculer une longueur quand deux droites sont parallèles.
Exemple
Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) // (BC). On donne AM = 2 cm, AB = 5 cm, AC = 7,5 cm et BC = 6 cm. Comme (MN) et (BC) sont parallèles, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$, soit $\frac{2}{5} = \frac{AN}{7{,}5} = \frac{MN}{6}$. Donc $AN = \frac{2 \times 7{,}5}{5} = 3$ cm et $MN = \frac{2 \times 6}{5} = 2{,}4$ cm.
À retenir : Si (MN) // (BC), alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ : on utilise Thalès pour calculer une longueur, en écrivant d'abord que les droites sont parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès
Soit ABC un triangle, M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC). Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On l'utilise pour démontrer que deux droites sont parallèles. Si les deux quotients sont différents, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles (sinon le théorème de Thalès donnerait l'égalité).
Exemple
Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec AM = 3 cm, AB = 4,5 cm, AN = 4 cm et AC = 6 cm. On calcule séparément $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{4{,}5} = \frac{2}{3}$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Les deux quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc (MN) // (BC).
À retenir : Pour prouver un parallélisme : points alignés dans le même ordre, puis comparer séparément $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$. S'ils sont égaux, les droites sont parallèles ; sinon elles ne le sont pas.
Cosinus, sinus, tangente : rappel
Ce sont trois rapports qui relient les côtés d'un triangle rectangle à ses angles aigus. Pour un angle aigu, on nomme les côtés : l'hypoténuse (opposée à l'angle droit), le côté adjacent (qui touche l'angle, sans être l'hypoténuse) et le côté opposé (en face de l'angle). Ils permettent de calculer des longueurs ou des angles.
Exemple
Un skieur descend une pente : si on connaît l'angle de la pente et la distance parcourue, on peut calculer la hauteur perdue avec le sinus.
À retenir : Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ : $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ (moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA).
Calcul de longueurs avec trigonométrie
Quand on connaît un angle et une longueur dans un triangle rectangle, on utilise cosinus, sinus ou tangente pour trouver les autres longueurs. On choisit le rapport selon ce qu'on connaît et ce qu'on cherche.
Exemple
Un drone filme un bâtiment : il est à 50 m de distance horizontale du bâtiment et l'angle d'élévation de son sommet est de 35°. Dans le triangle rectangle formé, la hauteur du bâtiment au-dessus du drone est le côté opposé et la distance horizontale est le côté adjacent : $\tan(35°) = \frac{h}{50}$, donc $h = 50 \times \tan(35°) \approx 35$ m.
À retenir : Identifier l'angle, le côté connu et le côté cherché, puis choisir cos, sin ou tan.
Calcul d'angles avec trigonométrie
Quand on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle, on calcule l'angle avec la fonction réciproque de cos, sin ou tan, que la calculatrice donne avec les touches $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$ (notées aussi arccos, arcsin, arctan). Il faut que la calculatrice soit en mode degrés.
Exemple
Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur et son pied est à 1 m du mur. L'angle $\alpha$ entre l'échelle et le sol vérifie $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{1}{4}$, donc $\alpha = \cos^{-1}(0{,}25) \approx 75{,}5$°.
À retenir : Choisir le bon rapport (cos, sin ou tan) avec les deux côtés connus, puis utiliser $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ sur la calculatrice.
Diagonale d'un pavé droit
Un pavé droit est une boîte rectangulaire en 3D. Sa diagonale est le segment qui relie deux sommets opposés en traversant l'intérieur de la boîte. On la calcule en appliquant le théorème de Pythagore deux fois : d'abord sur la base (diagonale de la base), puis dans le triangle rectangle formé avec la hauteur.
Exemple
Une boîte mesure 30 cm × 40 cm × 5 cm. Sa diagonale vaut $d = \sqrt{30^2 + 40^2 + 5^2} = \sqrt{900 + 1\,600 + 25} = \sqrt{2\,525} \approx 50{,}2$ cm. Une baguette de 50 cm peut donc entrer dans la boîte, tout juste.
À retenir : Diagonale d'un pavé : $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ où a, b, c sont les trois dimensions.
Distances et hauteurs inaccessibles
On combine Pythagore et trigonométrie pour calculer des distances ou des hauteurs qu'on ne peut pas mesurer directement (hauteur d'une montagne, largeur d'une rivière) ou des longueurs dans des solides. On repère un triangle rectangle, puis on choisit le bon outil.
Exemple
Un alpiniste voit le sommet d'une montagne sous un angle de 30° depuis un point situé à 1 000 m de distance horizontale. La hauteur du sommet au-dessus de l'observateur est $h = 1\,000 \times \tan(30°) \approx 577$ m.
À retenir : Dans un problème de distance ou de hauteur, ou dans un solide, repérer des triangles rectangles, puis appliquer Pythagore ou la trigonométrie.
Problèmes de synthèse
Ces problèmes combinent plusieurs notions : Pythagore pour vérifier des angles droits, trigonométrie pour calculer des longueurs ou des angles, et géométrie 3D pour les solides. Il faut bien lire l'énoncé et identifier quelle méthode utiliser.
Exemple
Une rampe de chargement pour une camionnette doit monter de 80 cm sur une distance horizontale de 1,5 m. Sa longueur est $\sqrt{0{,}8^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{2{,}89} = 1{,}7$ m (Pythagore). Son angle avec l'horizontale vérifie $\tan(\alpha) = \frac{0{,}8}{1{,}5}$, donc $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{0{,}8}{1{,}5}\right) \approx 28$°.
À retenir : Lire l'énoncé, dessiner la situation, identifier les triangles rectangles, puis choisir Pythagore ou trigonométrie.
Les points clés
- Pythagore s'utilise quand on a deux côtés et qu'on cherche le troisième dans un triangle rectangle
- La réciproque de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle (on compare le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres)
- Thalès s'utilise quand deux droites sont parallèles pour calculer une longueur ; sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles
- Trigonométrie (cos, sin, tan) s'utilise quand on a un angle et un côté, ou deux côtés et qu'on cherche un angle
- En 3D, décomposer le problème en triangles rectangles
- Bien identifier quel rapport trigonométrique utiliser : adjacent, opposé, hypoténuse
L'essentiel
Pythagore et sa réciproque concernent les angles droits et les longueurs, Thalès et sa réciproque concernent les droites parallèles et les longueurs proportionnelles, la trigonométrie relie les angles aigus et les longueurs d'un triangle rectangle.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un triangle ABC a pour côtés AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm. Prouve que ce triangle est rectangle et identifie l'angle droit. Ensuite, calcule l'angle $\widehat{ABC}$ (arrondi au degré).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une boîte rectangulaire mesure 6 cm × 8 cm × 10 cm. Calcule la longueur de sa diagonale. Ensuite, un objet en forme de baguette mesure 12 cm. Peut-il rentrer dans la boîte en diagonale ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →