Variables aléatoires discrètes finies en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de variables aléatoires discrètes finies pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Variable aléatoire discrète : loi de probabilité
- Espérance
- Schéma de Bernoulli
- Loi binomiale B(n,p) ; espérance
- Coefficients binomiaux ; triangle de Pascal
Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire discrète est une fonction qui associe à chaque résultat possible d'une expérience un nombre réel. Elle prend un nombre fini de valeurs distinctes.
Exemple
Quand tu joues à un jeu vidéo et que tu lances trois fois une pièce, le nombre de fois où tu obtiens pile est une variable aléatoire discrète qui peut valoir 0, 1, 2 ou 3.
À retenir : Une variable aléatoire discrète transforme chaque issue d'une expérience en un nombre.
Loi de probabilité d'une variable
La loi de probabilité d'une variable aléatoire est le tableau qui associe à chaque valeur possible sa probabilité d'occurrence. Toutes les probabilités doivent sommer à 1.
Exemple
Si tu lances un dé, les résultats 1, 2, 3, 4, 5, 6 ont chacun une probabilité de 1/6. C'est la loi de probabilité du dé.
À retenir : La loi de probabilité liste toutes les valeurs possibles et leurs probabilités respectives qui totalisent 1.
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance est la valeur moyenne que prend une variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences répétées. C'est comme la moyenne pondérée par les probabilités.
Exemple
Au casino, si une machine à sous te donne en moyenne 0,80 euro par partie quand tu mises 1 euro, l'espérance de gain est -0,20 euro par partie.
À retenir : L'espérance se calcule par $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ et représente le gain moyen attendu.
Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$). Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Exemple
Faire un panier au basket : chaque tir est une épreuve de Bernoulli (réussi = succès, raté = échec). Si tu tires 10 fois dans les mêmes conditions, de façon indépendante, tu réalises un schéma de Bernoulli de 10 épreuves.
À retenir : Épreuve de Bernoulli = une expérience à deux issues ; schéma de Bernoulli = $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Loi binomiale B(n,p)
La loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de n épreuves, chacune ayant une probabilité p de succès. Elle est notée B(n,p).
Exemple
Si tu lances une pièce 20 fois et que tu veux connaître la probabilité d'obtenir exactement 12 piles, c'est une loi binomiale B(20 ; 0,5).
À retenir : La loi binomiale B(n,p) compte les succès dans n tentatives indépendantes avec probabilité p.
Espérance de la loi binomiale
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p) se calcule simplement : c'est le nombre de tentatives multiplié par la probabilité de succès.
Exemple
Si tu joues 100 fois à un jeu où tu as 30 % de chance de gagner, tu gagneras en moyenne 30 fois : $E(X) = 100 \times 0{,}3 = 30$ gains attendus.
À retenir : Pour une loi binomiale B(n,p), l'espérance est $E(X) = n \times p$.
Coefficients binomiaux
On représente un schéma de Bernoulli de n épreuves par un arbre. Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (on lit « k parmi n ») est le nombre de chemins de cet arbre qui comportent exactement k succès, c'est-à-dire le nombre de chemins qui réalisent l'événement $\{X = k\}$.
Exemple
On lance 3 fois une pièce (succès S = pile, échec E = face). Les chemins qui comportent exactement 2 succès sont SSE, SES et ESS : il y en a 3, donc $\binom{3}{2} = 3$. Un seul chemin comporte 3 succès (SSS), donc $\binom{3}{3} = 1$.
À retenir : $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins à k succès dans l'arbre à n épreuves. On a toujours $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ et $\binom{n}{1} = n$.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche (on l'utilise pour $n \leq 10$). Chaque ligne commence et finit par 1 ; chaque autre nombre est la somme du nombre situé juste au-dessus et de celui situé au-dessus à gauche : $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$.
Exemple
Lignes n = 0 à 5 : - n = 0 : 1 - n = 1 : 1, 1 - n = 2 : 1, 2, 1 - n = 3 : 1, 3, 3, 1 - n = 4 : 1, 4, 6, 4, 1 - n = 5 : 1, 5, 10, 10, 5, 1 Par exemple, 10 = 4 + 6. La ligne n = 5 donne $\binom{5}{0} = 1$, $\binom{5}{1} = 5$, $\binom{5}{2} = 10$, $\binom{5}{3} = 10$, $\binom{5}{4} = 5$ et $\binom{5}{5} = 1$.
À retenir : On lit $\binom{n}{k}$ sur la ligne n, à la position k, en comptant les lignes et les positions à partir de 0.
Les points clés
- Une variable aléatoire discrète prend un nombre fini de valeurs, chacune avec une probabilité définie.
- L'espérance $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ est la valeur moyenne attendue après répétitions.
- Un schéma de Bernoulli répète n épreuves à deux issues, identiques et indépendantes ; la loi binomiale B(n,p) compte les succès.
- Pour B(n,p) : $E(X) = n \times p$ et $P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$.
- Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins de l'arbre réalisant $\{X = k\}$ ; on le lit dans le triangle de Pascal.
L'essentiel
La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès en n tentatives indépendantes, son espérance vaut $n \times p$ et ses probabilités utilisent les coefficients binomiaux.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un tireur au basket réussit ses tirs avec une probabilité de 0,7. Il tire 8 fois. Quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement 6 tirs ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une école teste un vaccin sur 200 élèves. Chaque élève a 95 % de chance d'être protégé. Quel est le nombre d'élèves protégés attendu ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →