Fonction inverse en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction inverse pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Comportement aux bornes de l’ensemble de définition
- Dérivée et sens de variation
- Courbe représentative ; asymptotes (approche intuitive)
- Combinaisons avec des fonctions polynomiales de degré ≤ 3
- Prix unitaire, coût moyen
Définition de la fonction inverse
La fonction inverse est la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$. Elle associe à chaque nombre $x$ (sauf zéro) son inverse, c'est-à-dire 1 divisé par ce nombre.
Exemple
Si 12 amis se partagent une pizza, chacun en a $\frac{1}{12}$ ; s'ils sont 24, chacun n'en a plus que $\frac{1}{24}$ : plus le nombre de personnes est grand, plus la part de chacun est petite.
À retenir : L'ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ : on ne peut jamais diviser par zéro.
Comportement aux bornes et asymptotes
Aux bornes de son domaine de définition, la fonction inverse se rapproche de plus en plus d'une droite sans jamais la toucher : c'est une asymptote. Quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives, $f(x)$ tend vers $+\infty$ ; par valeurs négatives, vers $-\infty$. Quand $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$, $f(x)$ tend vers 0.
Exemple
Un restaurateur qui divise ses frais fixes (2000 euros) par le nombre de clients : s'il a 10 clients, ça fait 200 euros par client ; s'il en a 1000, ça fait 2 euros par client. Plus il a de clients, plus le coût moyen par client diminue — on s'approche de zéro mais sans y arriver.
À retenir : Asymptote verticale : $x = 0$ ; asymptote horizontale : $y = 0$.
Dérivée et sens de variation
La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Cette dérivée est toujours négative, ce qui signifie que la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$ (mais pas sur la réunion des deux : $-1 < 1$ et pourtant $\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}$).
Exemple
En physique, si tu augmentes ta vitesse, le temps de parcours diminue : distance = vitesse × temps, donc temps = distance / vitesse. Plus la vitesse augmente, moins de temps tu mets.
À retenir : $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$ : la fonction est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$.
Courbe représentative et allure
La courbe de la fonction inverse est une hyperbole avec deux branches : une dans le premier quadrant (pour $x > 0$) et une dans le troisième quadrant (pour $x < 0$). Les deux branches sont symétriques par rapport à l'origine.
Exemple
Les points $(2 ; 0{,}5)$ et $(-2 ; -0{,}5)$ sont tous les deux sur la courbe de $\frac{1}{x}$ : ils sont symétriques par rapport à l'origine. De même, $(2 ; 0{,}5)$ et $(0{,}5 ; 2)$ sont sur la courbe et symétriques par rapport à la droite $y = x$.
À retenir : Hyperbole symétrique par rapport à l'origine, deux branches qui se rapprochent de plus en plus des axes sans les toucher.
Combinaisons avec polynômes
On peut créer des nouvelles fonctions en combinant la fonction inverse avec des polynômes de degré ≤ 3. Par exemple : $g(x) = x + \frac{1}{x}$ ou $h(x) = x^2 + \frac{2}{x}$. L'étude de ces fonctions combine les propriétés de chaque partie.
Exemple
Une entreprise dont le coût moyen est $C_m(x) = 0{,}01x^2 + \frac{100}{x}$ combine un polynôme (qui augmente avec $x$) et un terme en $\frac{1}{x}$ (qui diminue) : on étudie le signe de sa dérivée pour trouver la quantité qui rend le coût moyen minimal.
À retenir : Pour étudier $P(x) + \frac{a}{x}$, on dérive chaque terme et on étudie le signe de la dérivée globale.
Coût moyen et prix unitaire
Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité produite : $C_{moyen}(x) = \frac{C_{total}(x)}{x}$. Si le coût total est composé d'une partie fixe et d'une partie variable, le coût moyen comprendra un terme en $\frac{1}{x}$.
Exemple
Une boulangerie fabrique des pains : elle a 500 euros de charges (électricité, loyer) et 0,5 euro de matière première par pain. Le coût total pour $x$ pains est $500 + 0{,}5x$ euros. Le coût moyen par pain est $\frac{500 + 0{,}5x}{x} = \frac{500}{x} + 0{,}5$. Si elle fait 100 pains, c'est 5,50 euros en moyenne ; si elle en fait 1000, c'est 1 euro en moyenne.
À retenir : Le coût moyen contient souvent un terme inverse $\frac{k}{x}$ qui tend vers 0 quand la production augmente.
Les points clés
- La fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$
- Sa dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$, toujours négative, donc fonction décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$
- Asymptotes : verticale en $x = 0$ et horizontale en $y = 0$
- La courbe est une hyperbole avec deux branches symétriques par rapport à l'origine
- Combinaisons $P(x) + \frac{a}{x}$ : dériver chaque terme pour étudier les variations
- Coût moyen = coût total / quantité = souvent de la forme $\frac{\text{fixe}}{x} + \text{variable}$
L'essentiel
La fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$, avec des asymptotes en $x = 0$ et $y = 0$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production total est $C(x) = 1000 + 5x$ euros pour $x$ objets. Le coût moyen par objet est $C_m(x) = \frac{1000 + 5x}{x}$. Simplifie cette expression et détermine le sens de variation du coût moyen. Que se passe-t-il quand $x$ devient très grand ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x + \frac{2}{x}$ définie sur $]0 ; +\infty[$. Calcule la dérivée, étudie son signe et déduis le tableau de variations de $f$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →