Comportement aux bornes et asymptotes en Terminale
Comportement aux bornes et asymptotes, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction inverse », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Comportement aux bornes et asymptotes : le cours
Aux bornes de son domaine de définition, la fonction inverse se rapproche de plus en plus d'une droite sans jamais la toucher : c'est une asymptote. Quand $x$ tend vers 0 par valeurs positives, $f(x)$ tend vers $+\infty$ ; par valeurs négatives, vers $-\infty$. Quand $x$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$, $f(x)$ tend vers 0.
Exemple
Un restaurateur qui divise ses frais fixes (2000 euros) par le nombre de clients : s'il a 10 clients, ça fait 200 euros par client ; s'il en a 1000, ça fait 2 euros par client. Plus il a de clients, plus le coût moyen par client diminue — on s'approche de zéro mais sans y arriver.
À retenir
Asymptote verticale : $x = 0$ ; asymptote horizontale : $y = 0$.
S'entraîner sur comportement aux bornes et asymptotes
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production total est $C(x) = 1000 + 5x$ euros pour $x$ objets. Le coût moyen par objet est $C_m(x) = \frac{1000 + 5x}{x}$. Simplifie cette expression et détermine le sens de variation du coût moyen. Que se passe-t-il quand $x$ devient très grand ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x + \frac{2}{x}$ définie sur $]0 ; +\infty[$. Calcule la dérivée, étudie son signe et déduis le tableau de variations de $f$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction inverse (Mathématiques Terminale).