Fonctions exponentielles en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions exponentielles pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonctions x ↦ aˣ prolongeant les suites géométriques
- Propriétés algébriques des fonctions exponentielles
- Sens de variation selon a
- Évolution relative constante
- Modélisation d’évolutions continues
Fonctions exponentielles prolongement suites géométriques
Pour un réel $a > 0$, la fonction exponentielle de base $a$, $f(x) = a^x$, généralise les suites géométriques : au lieu de calculer des termes pour des entiers n, on peut maintenant évaluer $a^x$ pour n'importe quel nombre réel x. C'est le passage du discret au continu.
Exemple
Une population de bactéries double chaque jour (suite géométrique). Avec la fonction exponentielle $f(t) = 2^t$, on peut calculer par combien la population est multipliée après 1,5 jour, pas seulement après 1 ou 2 jours entiers.
À retenir : La fonction exponentielle $f(x) = a^x$ étend les suites géométriques à tous les réels, pas seulement aux entiers.
Propriétés algébriques exponentielles
Les fonctions exponentielles respectent des règles de calcul simples : pour un produit de puissances de même base, on additionne les exposants ; pour un quotient, on les soustrait ; pour une puissance de puissance, on les multiplie. Ces règles viennent de la structure des suites géométriques.
Exemple
Quand tu reçois un message qui se propage sur les réseaux sociaux par doublement chaque heure : après 2 heures, c'est $2^2 = 4$ fois plus. Après 3 heures, c'est $2^3 = 8$ fois plus. On peut vérifier : $2^2 × 2^1 = 2^3$.
À retenir : Les règles clés : $a^m × a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, et $(a^m)^n = a^{mn}$.
Sens de variation selon la base a
Si $a > 1$, la fonction $x \mapsto a^x$ est croissante. Si $0 < a < 1$, elle décroît. La valeur de la base $a$ détermine complètement si la fonction monte ou descend.
Exemple
Un placement qui rapporte 5 % par an utilise $a = 1{,}05$ (croissance). Un produit qui se dégrade de 10 % par an utilise $a = 0{,}9$ (décroissance). Plus $a$ est grand, plus la croissance est rapide.
À retenir : Si $a > 1$ : fonction croissante. Si $0 < a < 1$ : fonction décroissante. Si $a = 1$ : fonction constante.
Évolution relative constante
Une évolution relative constante signifie que le taux de changement reste le même à chaque étape (chaque jour, chaque année). Cela produit naturellement une fonction exponentielle. Si tu augmentes de 20 % chaque mois, après n mois, tu multiplies par $1{,}2^n$. Taux d'évolution moyen : si une quantité est multipliée au total par $C$ en $n$ périodes, le taux moyen $t$ par période vérifie $(1 + t)^n = C$, donc $1 + t = C^{1/n}$ et $t = C^{1/n} - 1$.
Exemple
Un téléphone se dévalue de 15 % chaque année. Après 1 an, il vaut 85 % du prix. Après 2 ans, $0{,}85^2 ≈ 0{,}72$ du prix initial. Le coefficient multiplicateur reste 0,85 à chaque étape. Taux moyen : une hausse globale de 21 % en 2 ans correspond à un taux annuel moyen $t$ tel que $(1 + t)^2 = 1{,}21$, donc $1 + t = 1{,}21^{1/2} = 1{,}1$ et $t = 10$ %. De même, le taux mensuel équivalent à une hausse de 6 % par an vaut $1{,}06^{1/12} - 1 \approx 0{,}0049$, soit environ 0,49 % par mois.
À retenir : Une évolution relative constante de taux $r$ donne une fonction exponentielle $f(t) = (1 + r)^t$ ou $f(t) = (1 - r)^t$. Le taux moyen équivalent à $n$ évolutions successives de coefficient multiplicateur global $C$ est $t = C^{1/n} - 1$.
Modélisation d'évolutions continues
Beaucoup de phénomènes naturels (croissance bactérienne, refroidissement d'un objet, désintégration radioactive) suivent des exponentielles. On utilise la fonction exponentielle pour prédire leur comportement dans le temps.
Exemple
Une population de bactéries double toutes les 3 heures. On modélise par $P(t) = P_0 × 2^{t/3}$ où $t$ est en heures. On peut alors prédire la population à n'importe quel instant, même non entier.
À retenir : Pour modéliser une évolution continue, identifier le facteur de croissance et la période, puis construire $f(t) = f_0 × a^t$ ou $f(t) = f_0 × a^{t/T}$ selon les unités.
Les points clés
- La fonction exponentielle $f(x) = a^x$ prolonge les suites géométriques au domaine des réels.
- Règles algébriques : $a^m × a^n = a^{m+n}$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
- Si $a > 1$ : croissance exponentielle. Si $0 < a < 1$ : décroissance exponentielle.
- Une évolution relative constante de taux $r$ par période donne $f(t) = (1+r)^t$.
- Taux d'évolution moyen sur $n$ périodes pour un coefficient global $C$ : $t = C^{1/n} - 1$ (par exemple $1{,}21^{1/2} - 1 = 0{,}1$, soit 10 %).
- Modéliser c'est identifier le facteur multiplicatif $a$ et la période de référence.
L'essentiel
Les fonctions exponentielles $f(x) = a^x$ modélisent tous les phénomènes où le taux d'évolution (en pourcentage) reste constant : elles sont les outils clés pour décrire la croissance ou décroissance en biologie, économie et physique.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un capital de 1000 euros est placé à un taux d'intérêt composé de 4 % par an. Quel sera le capital après 5 ans ? Exprime le résultat sous la forme d'une fonction exponentielle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive se désintègre avec une demi-vie de 10 ans. Si on part avec 100 g, combien de grammes restera-t-il après 30 ans ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →