Dérivée et sens de variation en Terminale
Dérivée et sens de variation, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction inverse », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Dérivée et sens de variation : le cours
La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Cette dérivée est toujours négative, ce qui signifie que la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et décroissante sur $]0 ; +\infty[$ (mais pas sur la réunion des deux : $-1 < 1$ et pourtant $\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}$).
Exemple
En physique, si tu augmentes ta vitesse, le temps de parcours diminue : distance = vitesse × temps, donc temps = distance / vitesse. Plus la vitesse augmente, moins de temps tu mets.
À retenir
$f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x \neq 0$ : la fonction est décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$.
S'entraîner sur dérivée et sens de variation
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production total est $C(x) = 1000 + 5x$ euros pour $x$ objets. Le coût moyen par objet est $C_m(x) = \frac{1000 + 5x}{x}$. Simplifie cette expression et détermine le sens de variation du coût moyen. Que se passe-t-il quand $x$ devient très grand ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x + \frac{2}{x}$ définie sur $]0 ; +\infty[$. Calcule la dérivée, étudie son signe et déduis le tableau de variations de $f$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction inverse (Mathématiques Terminale).