Combinaisons avec polynômes en Terminale
Combinaisons avec polynômes, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction inverse », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Combinaisons avec polynômes : le cours
On peut créer des nouvelles fonctions en combinant la fonction inverse avec des polynômes de degré ≤ 3. Par exemple : $g(x) = x + \frac{1}{x}$ ou $h(x) = x^2 + \frac{2}{x}$. L'étude de ces fonctions combine les propriétés de chaque partie.
Exemple
Une entreprise dont le coût moyen est $C_m(x) = 0{,}01x^2 + \frac{100}{x}$ combine un polynôme (qui augmente avec $x$) et un terme en $\frac{1}{x}$ (qui diminue) : on étudie le signe de sa dérivée pour trouver la quantité qui rend le coût moyen minimal.
À retenir
Pour étudier $P(x) + \frac{a}{x}$, on dérive chaque terme et on étudie le signe de la dérivée globale.
S'entraîner sur combinaisons avec polynômes
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production total est $C(x) = 1000 + 5x$ euros pour $x$ objets. Le coût moyen par objet est $C_m(x) = \frac{1000 + 5x}{x}$. Simplifie cette expression et détermine le sens de variation du coût moyen. Que se passe-t-il quand $x$ devient très grand ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x + \frac{2}{x}$ définie sur $]0 ; +\infty[$. Calcule la dérivée, étudie son signe et déduis le tableau de variations de $f$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction inverse (Mathématiques Terminale).