Sommes de variables aléatoires en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de sommes de variables aléatoires pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Somme de deux variables aléatoires discrètes
- Linéarité de l'espérance : E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)
- Variance d'une somme de VA indépendantes
- Écart-type d'une somme de VA indépendantes
- Moyenne d'un échantillon de taille n : espérance et variance
- Application à la loi binomiale comme somme de Bernoulli
Somme de deux variables aléatoires discrètes
Quand on ajoute deux variables aléatoires $X$ et $Y$, on crée une nouvelle variable aléatoire $Z = X + Y$. Chaque valeur possible de $Z$ résulte de l'addition d'une valeur de $X$ et d'une valeur de $Y$.
Exemple
Tu lances deux dés. $X$ est le résultat du premier dé, $Y$ celui du second. $Z = X + Y$ est la somme totale. $Z$ peut valoir entre 2 et 12.
À retenir : La somme de deux variables aléatoires est elle-même une variable aléatoire dont on peut calculer la loi de probabilité.
Linéarité de l'espérance
L'espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires égale la combinaison linéaire de leurs espérances. Formule : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$, où $a$ et $b$ sont des constantes.
Exemple
Soit $X$ ton nombre de victoires à un premier jeu, avec $E(X) = 5$, et $Y$ ton nombre de victoires à un second jeu, avec $E(Y) = 4$. Si chaque victoire rapporte 2 euros au premier jeu et 3 euros au second, ton gain est $2X + 3Y$ et $E(2X + 3Y) = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ euros.
À retenir : L'espérance est linéaire : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$, que les variables soient indépendantes ou non.
Variance d'une somme de VA indépendantes
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Sans indépendance, cette égalité n'est pas garantie en général.
Exemple
Deux joueurs lancent chacun un dé. La variance du total est la somme des variances individuelles, car les dés sont indépendants.
À retenir : Pour une somme de variables indépendantes, les variances s'ajoutent (mais pas les écarts types). Pour tout réel $a$ : $V(aX) = a^2V(X)$.
Écart-type d'une somme de VA indépendantes
L'écart-type mesure la dispersion. Pour une somme de variables indépendantes : $\sigma(X + Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)} = \sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$.
Exemple
On met bout à bout deux pièces fabriquées indépendamment, dont les longueurs ont chacune un écart type de 2 mm. L'écart type de la longueur totale est $\sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ mm, et non $2 + 2 = 4$ mm.
À retenir : L'écart-type d'une somme de VA indépendantes est la racine carrée de la somme des variances.
Moyenne d'un échantillon : espérance et variance
Si on prélève n observations indépendantes d'une variable X, leur moyenne $\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ a pour espérance $E(\overline{X}) = E(X)$ et pour variance $V(\overline{X}) = \frac{V(X)}{n}$.
Exemple
Tu mesures la taille de 100 élèves choisis au hasard, de façon indépendante. La moyenne $M_{100}$ a la même espérance que la taille d'un élève pris au hasard, mais sa variance est 100 fois plus petite (et son écart type 10 fois plus petit).
À retenir : La moyenne d'un échantillon de taille n a une variance divisée par n : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est stable.
Loi binomiale comme somme de Bernoulli
Une variable de loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ compte le nombre de succès en n répétitions indépendantes. On peut l'écrire comme somme de n variables de Bernoulli indépendantes : $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ où chaque $X_i$ vaut 1 (succès) ou 0 (échec).
Exemple
Tu lances 10 fois une pièce équilibrée. Le nombre de « face » suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10 ; 0{,}5)$ : c'est la somme de 10 variables de Bernoulli (une par lancer).
À retenir : Une variable de loi $\mathcal{B}(n ; p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ ; d'où $E = np$ et $V = np(1-p)$.
Les points clés
- La linéarité de l'espérance fonctionne toujours, même si les variables ne sont pas indépendantes
- Si les variables sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances ; sans indépendance, cette égalité n'est pas garantie
- La moyenne d'un échantillon a pour espérance $E(X)$ et pour variance $\frac{V(X)}{n}$ : elle se concentre autour de l'espérance quand $n$ augmente
- Une loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ a pour espérance $np$ et pour variance $np(1-p)$, car c'est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes
L'essentiel
Les espérances s'ajoutent toujours ; les variances s'ajoutent quand les variables sont indépendantes ; la moyenne d'un échantillon de taille $n$ a une variance divisée par $n$, donc elle est d'autant plus stable que $n$ est grand.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un restaurant propose deux menus : le menu A coûte en moyenne 15 euros avec une variance de 4, le menu B coûte en moyenne 18 euros avec une variance de 9. Un client commande un menu A et un menu B. Calcule l'espérance, la variance et l'écart type du coût total, en supposant les deux coûts indépendants.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance 100 fois un dé équilibré. Soit $X$ le nombre de fois où on obtient un 6. Calcule $E(X)$, $V(X)$ et l'écart-type de $X$. Interprète le résultat.
Corrige cet exercice avec le tuteur →