Sommes de variables aléatoires en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de sommes de variables aléatoires pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Somme de deux variables aléatoires discrètes
- Linéarité de l'espérance : E(aX+bY) = aE(X)+bE(Y)
- Variance d'une somme de VA indépendantes
- Écart-type d'une somme de VA indépendantes
- Moyenne d'un échantillon de taille n : espérance et variance
- Application à la loi binomiale comme somme de Bernoulli
Somme de deux variables aléatoires discrètes
Quand on ajoute deux variables aléatoires X et Y, on crée une nouvelle variable aléatoire Z = X + Y. Chaque valeur possible de Z résulte de l'addition d'une valeur de X et d'une valeur de Y.
Exemple
Tu lances deux dés. X est le résultat du premier dé, Y celui du second. Z = X + Y est la somme totale. Z peut valoir entre 2 et 12.
À retenir : La somme de deux variables aléatoires est elle-même une variable aléatoire dont on peut calculer la loi de probabilité.
Linéarité de l'espérance
L'espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires égale la combinaison linéaire de leurs espérances. Formule : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$, où a et b sont des constantes.
Exemple
Soit $X$ ton nombre de victoires à un premier jeu, avec $E(X) = 5$, et $Y$ ton nombre de victoires à un second jeu, avec $E(Y) = 4$. Si chaque victoire rapporte 2 euros au premier jeu et 3 euros au second, ton gain est $2X + 3Y$ et $E(2X + 3Y) = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ euros.
À retenir : L'espérance est linéaire : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$, que les variables soient indépendantes ou non.
Variance d'une somme de VA indépendantes
Si X et Y sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Cette propriété ne fonctionne que si X et Y sont indépendantes.
Exemple
Deux joueurs lancent chacun un dé. La variance du total est la somme des variances individuelles, car les dés sont indépendants.
À retenir : Pour une somme de variables indépendantes, les variances s'ajoutent (mais pas les écarts types). Pour tout réel $a$ : $V(aX) = a^2V(X)$.
Écart-type d'une somme de VA indépendantes
L'écart-type mesure la dispersion. Pour une somme de variables indépendantes : $\sigma(X + Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)} = \sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$.
Exemple
On met bout à bout deux pièces fabriquées indépendamment, dont les longueurs ont chacune un écart type de 2 mm. L'écart type de la longueur totale est $\sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ mm, et non $2 + 2 = 4$ mm.
À retenir : L'écart-type d'une somme de VA indépendantes est la racine carrée de la somme des variances.
Moyenne d'un échantillon : espérance et variance
Si on prélève n observations indépendantes d'une variable X, leur moyenne $\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ a pour espérance $E(\overline{X}) = E(X)$ et pour variance $V(\overline{X}) = \frac{V(X)}{n}$.
Exemple
Tu mesures la taille de 100 élèves choisis au hasard, de façon indépendante. La moyenne $M_{100}$ a la même espérance que la taille d'un élève pris au hasard, mais sa variance est 100 fois plus petite (et son écart type 10 fois plus petit).
À retenir : La moyenne d'un échantillon de taille n a une variance divisée par n : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est stable.
Loi binomiale comme somme de Bernoulli
Une variable de loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ compte le nombre de succès en n répétitions indépendantes. On peut l'écrire comme somme de n variables de Bernoulli indépendantes : $X = X_1 + X_2 + ... + X_n$ où chaque $X_i$ vaut 1 (succès) ou 0 (échec).
Exemple
Tu lances 10 fois une pièce équilibrée. Le nombre de « face » suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10 ; 0{,}5)$ : c'est la somme de 10 variables de Bernoulli (une par lancer).
À retenir : Une variable de loi $\mathcal{B}(n ; p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ ; d'où $E = np$ et $V = np(1-p)$.
Les points clés
- La linéarité de l'espérance fonctionne toujours, même si les variables ne sont pas indépendantes
- La variance d'une somme égale la somme des variances SEULEMENT si les variables sont indépendantes
- La moyenne d'un échantillon a pour espérance $E(X)$ et pour variance $\frac{V(X)}{n}$ : elle se concentre autour de l'espérance quand $n$ augmente
- Une loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$ a pour espérance $np$ et pour variance $np(1-p)$, car c'est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes
L'essentiel
Les espérances s'ajoutent toujours ; les variances s'ajoutent quand les variables sont indépendantes ; la moyenne d'un échantillon de taille $n$ a une variance divisée par $n$, donc elle est d'autant plus stable que $n$ est grand.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un restaurant propose deux menus : le menu A coûte en moyenne 15 euros avec une variance de 4, le menu B coûte en moyenne 18 euros avec une variance de 9. Un client commande un menu A et un menu B. Calcule l'espérance, la variance et l'écart type du coût total, en supposant les deux coûts indépendants.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance 100 fois un dé équilibré. Soit X le nombre de fois où on obtient un 6. Calcule E(X), V(X) et l'écart-type de X. Interprète le résultat.
Corrige cet exercice avec le tuteur →