Limites et continuité en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de limites et continuité pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Limite d'une suite, d'une fonction
- Théorèmes de comparaison
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Limite d'une suite numérique
Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. Elle tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A;+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Exemple
Imagine que tu mets de côté chaque mois 10 % de moins que le mois précédent : 100 €, puis 90 €, puis 81 €… Les montants mis de côté chaque mois se rapprochent de 0 : la suite de ces montants converge vers 0.
À retenir : On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ : les termes finissent par rester aussi près de $L$ qu'on le veut. Il ne suffit pas qu'ils « se rapprochent » de $L$.
Limite d'une fonction en un point
La limite d'une fonction $f$ en un point $a$ décrit ce que devient $f(x)$ quand $x$ s'approche de $a$. Elle peut être finie ou infinie, et exister même si $f(a)$ n'existe pas.
Exemple
La fonction $f(x) = \frac{1}{x^2}$ n'est pas définie en 0, mais $f(x)$ devient aussi grand qu'on veut quand $x$ s'approche de 0 : $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$. La droite d'équation $x = 0$ est une asymptote verticale à la courbe.
À retenir : On note $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; cela décrit le comportement de $f$ près de $a$, pas en $a$.
Limite d'une fonction à l'infini
C'est le comportement d'une fonction quand $x$ devient très grand (positif ou négatif). La fonction peut se rapprocher d'une valeur, diverger vers l'infini, ou osciller.
Exemple
La vitesse d'une voiture qui accélère : elle augmente d'abord vite, puis de moins en moins, jusqu'à se stabiliser près d'une vitesse maximale.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ devient très grand ; la droite d'équation $y = L$ est alors asymptote horizontale à la courbe.
Théorèmes de comparaison et d'encadrement
Ces théorèmes permettent de trouver la limite d'une suite ou d'une fonction en la comparant à d'autres dont on connaît la limite. Théorème de comparaison : une suite plus grande (à partir d'un certain rang) qu'une suite qui tend vers $+\infty$ tend aussi vers $+\infty$. Théorème des gendarmes : une suite encadrée par deux suites ayant la même limite $L$ a aussi pour limite $L$.
Exemple
Deux policiers (gendarmes) encadrent un suspect entre eux. S'ils avancent tous les deux vers la porte, le suspect est forcé d'avancer vers la porte aussi.
À retenir : Si, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$. Si, à partir d'un certain rang, $u_n \geq v_n$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$. Ces théorèmes s'appliquent aussi aux fonctions (en $+\infty$, en $-\infty$ ou en un point).
Continuité d'une fonction
Une fonction est continue en un point $a$ si sa limite en $a$ existe et égale $f(a)$. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle : graphiquement, on trace alors sa courbe sans lever le crayon. Toute fonction dérivable est continue.
Exemple
La température de l'eau qui chauffe progressivement : elle passe par toutes les valeurs intermédiaires sans sauts brusques.
À retenir : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction est continue sur un intervalle $[a, b]$ et prend deux valeurs différentes aux extrémités, alors elle prend au moins une fois toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
Exemple
Si la température passe de 10 °C à 25 °C de manière continue, elle passe forcément par 15 °C, 20 °C, et toutes les valeurs entre 10 et 25.
À retenir : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ avec $f(a) < k < f(b)$ (ou $f(b) < k < f(a)$), alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = k$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, ce réel $c$ est unique.
Les points clés
- Une limite décrit le comportement d'une fonction ou suite, pas nécessairement sa valeur réelle
- La continuité garantit qu'il n'y a pas de saut ou de trou dans la courbe
- Le théorème des gendarmes permet de trouver des limites en utilisant l'encadrement
- Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'une fonction continue passe par toutes les valeurs entre deux points
- Une fonction peut avoir une limite en un point sans y être définie
L'essentiel
La continuité et les limites sont les outils fondamentaux pour comprendre le comportement des fonctions : une fonction continue sur un intervalle ne peut pas faire de sauts et passe par toutes les valeurs intermédiaires.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$. Trouve $\lim_{x \to 1} f(x)$. On définit $g$ sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x)$ si $x \neq 1$ et $g(1) = 2$ : la fonction $g$ est-elle continue en 1 ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Montre que l'équation $x^3 - 2x - 1 = 0$ a au moins une solution dans l'intervalle $]1, 2[$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →