Limites et continuité en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de limites et continuité pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Limite d'une suite, d'une fonction
- Théorèmes de comparaison
- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Limite d'une suite numérique
La limite d'une suite est la valeur vers laquelle se rapprochent les termes de la suite quand on avance suffisamment loin. Si une suite a une limite finie, on dit qu'elle converge.
Exemple
Imagine que tu économises de l'argent chaque mois en mettant 10% de moins que le mois précédent. Tes économies supplémentaires se rapprochent de zéro, mais tu continues à économiser.
À retenir : On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ si les termes se rapprochent de $L$ quand $n$ devient très grand.
Limite d'une fonction en un point
La limite d'une fonction $f$ en un point $a$ est la valeur vers laquelle $f(x)$ se rapproche quand $x$ s'approche de $a$. Cette limite peut exister même si $f(a)$ n'existe pas.
Exemple
Quand tu te rapproches d'une station de métro, le bruit augmente progressivement. La limite du bruit quand tu arrives à la station existe, même si tu n'y es pas encore.
À retenir : On note $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; cela décrit le comportement de $f$ près de $a$, pas en $a$.
Limite d'une fonction à l'infini
C'est le comportement d'une fonction quand $x$ devient très grand (positif ou négatif). La fonction peut se rapprocher d'une valeur, diverger vers l'infini, ou osciller.
Exemple
La vitesse d'une voiture qui accélère : elle augmente d'abord vite, puis de moins en moins, jusqu'à se stabiliser près d'une vitesse maximale.
À retenir : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ devient très grand.
Théorèmes de comparaison et d'encadrement
Ces théorèmes permettent de trouver la limite d'une fonction ou d'une suite en la comparant avec d'autres dont on connaît la limite. Le théorème des gendarmes dit que si une suite est encadrée par deux suites ayant la même limite, alors elle a cette limite.
Exemple
Deux policiers (gendarmes) encadrent un suspect entre eux. S'ils avancent tous les deux vers la porte, le suspect est forcé d'avancer vers la porte aussi.
À retenir : Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$.
Continuité d'une fonction
Une fonction est continue en un point $a$ si sa limite en $a$ existe et égale $f(a)$. Graphiquement, cela signifie qu'on peut tracer la courbe sans lever le crayon.
Exemple
La température de l'eau qui chauffe progressivement : elle passe par toutes les valeurs intermédiaires sans sauts brusques.
À retenir : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction est continue sur un intervalle $[a, b]$ et prend deux valeurs différentes aux extrémités, alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires au moins une fois.
Exemple
Si la température passe de 10°C à 25°C de manière continue, elle passe forcément par 15°C, 20°C, et toutes les valeurs entre 10 et 25.
À retenir : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ avec $f(a) < k < f(b)$, alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = k$.
Les points clés
- Une limite décrit le comportement d'une fonction ou suite, pas nécessairement sa valeur réelle
- La continuité garantit qu'il n'y a pas de saut ou de trou dans la courbe
- Le théorème des gendarmes permet de trouver des limites en utilisant l'encadrement
- Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'une fonction continue passe par toutes les valeurs entre deux points
- Une fonction peut avoir une limite en un point sans y être définie
L'essentiel
La continuité et les limites sont les outils fondamentaux pour comprendre le comportement des fonctions : une fonction continue sur un intervalle ne peut pas faire de sauts et passe par toutes les valeurs intermédiaires.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + 2}$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 2.
Corrige cet exercice avec le tuteur →