Théorème des valeurs intermédiaires en Terminale
Théorème des valeurs intermédiaires, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Limites et continuité », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Théorème des valeurs intermédiaires : le cours
Si une fonction est continue sur un intervalle $[a, b]$ et prend deux valeurs différentes aux extrémités, alors elle prend au moins une fois toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.
Exemple
Si la température passe de 10 °C à 25 °C de manière continue, elle passe forcément par 15 °C, 20 °C, et toutes les valeurs entre 10 et 25.
À retenir
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ avec $f(a) < k < f(b)$ (ou $f(b) < k < f(a)$), alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = k$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, ce réel $c$ est unique.
S'entraîner sur théorème des valeurs intermédiaires
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$. Trouve $\lim_{x \to 1} f(x)$. On définit $g$ sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x)$ si $x \neq 1$ et $g(1) = 2$ : la fonction $g$ est-elle continue en 1 ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Montre que l'équation $x^3 - 2x - 1 = 0$ a au moins une solution dans l'intervalle $]1, 2[$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Limites et continuité (Mathématiques Terminale).