Théorèmes de comparaison et d'encadrement en Terminale
Théorèmes de comparaison et d'encadrement, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Limites et continuité », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Théorèmes de comparaison et d'encadrement : le cours
Ces théorèmes permettent de trouver la limite d'une suite ou d'une fonction en la comparant à d'autres dont on connaît la limite. Théorème de comparaison : une suite plus grande (à partir d'un certain rang) qu'une suite qui tend vers $+\infty$ tend aussi vers $+\infty$. Théorème des gendarmes : une suite encadrée par deux suites ayant la même limite $L$ a aussi pour limite $L$.
Exemple
Deux policiers (gendarmes) encadrent un suspect entre eux. S'ils avancent tous les deux vers la porte, le suspect est forcé d'avancer vers la porte aussi.
À retenir
Si, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$. Si, à partir d'un certain rang, $u_n \geq v_n$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$. Ces théorèmes s'appliquent aussi aux fonctions (en $+\infty$, en $-\infty$ ou en un point).
S'entraîner sur théorèmes de comparaison et d'encadrement
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pour $x \neq 1$. Trouve $\lim_{x \to 1} f(x)$. On définit $g$ sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x)$ si $x \neq 1$ et $g(1) = 2$ : la fonction $g$ est-elle continue en 1 ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Montre que l'équation $x^3 - 2x - 1 = 0$ a au moins une solution dans l'intervalle $]1, 2[$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Limites et continuité (Mathématiques Terminale).