Combinaisons et coefficient binomial en Terminale
Combinaisons et coefficient binomial, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Combinatoire et dénombrement », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Combinaisons et coefficient binomial : le cours
Une combinaison de $k$ éléments d'un ensemble $E$ à $n$ éléments est une partie de $E$ à $k$ éléments : on choisit sans ordre et sans répétition. Leur nombre se note $\binom{n}{k}$ (lu « $k$ parmi $n$ »). Chaque partie à $k$ éléments peut être ordonnée de $k!$ façons, ce qui donne les $k$-uplets d'éléments distincts ; donc $\binom{n}{k} \times k! = \frac{n!}{(n-k)!}$, soit $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ pour $0 \leq k \leq n$.
Exemple
Choisir 3 joueurs parmi 10 pour une équipe, sans rôles différents : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ équipes.
À retenir
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ ; $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
S'entraîner sur combinaisons et coefficient binomial
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats et 4 desserts. a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ? b) Le restaurant propose aussi des formules « plat + dessert » (sans entrée). Combien de repas différents un client peut-il commander au total, en choisissant soit un menu complet, soit une formule ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, a) combien y a-t-il de façons de choisir un délégué et un suppléant (deux élèves différents) ? b) combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ? c) combien de sous-ensembles d'élèves (y compris le groupe vide) peut-on former ? (donner le résultat sous forme de puissance)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Combinatoire et dénombrement (Mathématiques Terminale).