Vecteurs du plan en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de vecteurs du plan pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Translation et vecteur associé
- Égalité de vecteurs et relation de Chasles
- Somme de vecteurs et différence
- Produit d'un vecteur par un réel
- Coordonnées d'un vecteur dans un repère
- Milieu d'un segment en coordonnées
- Colinéarité de deux vecteurs : critère et applications
Translation et vecteur associé
Un vecteur représente un déplacement : il a une direction, un sens et une longueur. Une translation déplace tous les points d'une figure de la même manière, selon le vecteur associé.
Exemple
Quand tu glisses sur un toboggan aquatique, tu te déplaces dans une direction précise sur une certaine distance : c'est comme une translation. Le vecteur décrit exactement ce mouvement.
À retenir : Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme (longueur).
Égalité de vecteurs et relation de Chasles
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. La relation de Chasles permet d'additionner les vecteurs en chaînant les déplacements : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Exemple
Tu vas de ta maison à l'école, puis de l'école à la bibliothèque. Le trajet total est comme additionner deux vecteurs de déplacement.
À retenir : La relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ permet de simplifier les sommes de vecteurs.
Somme de vecteurs et différence
Pour additionner deux vecteurs, on les place bout à bout (méthode du parallélogramme ou de la chaîne). La différence $\vec{u} - \vec{v}$ est égale à $\vec{u} + (-\vec{v})$, où $-\vec{v}$ est le vecteur opposé.
Exemple
En natation, si tu nages vers l'avant avec une force et que le courant te pousse sur le côté, le résultat est la somme de ces deux forces.
À retenir : Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé : $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
Produit d'un vecteur par un réel
Multiplier un vecteur $\vec{u}$ par un nombre réel $k$ donne un nouveau vecteur $k\vec{u}$ qui a la même direction. Si $k > 0$, le sens ne change pas ; si $k < 0$, le sens s'inverse. La longueur est multipliée par $|k|$.
Exemple
Si tu dois parcourir 10 km en voiture, puis tu décides de faire le même trajet 3 fois, tu parcours $3 \times 10 = 30$ km dans la même direction.
À retenir : Le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, une longueur multipliée par $|k|$, et un sens identique si $k > 0$.
Coordonnées d'un vecteur dans un repère
Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, un vecteur $\vec{AB}$ a des coordonnées $(x, y)$ où $x = x_B - x_A$ et $y = y_B - y_A$. On note $\vec{AB} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
Exemple
Sur un écran de jeu vidéo avec un repère, si un personnage passe du point $(2, 3)$ au point $(5, 7)$, le vecteur de déplacement est $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
À retenir : Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Milieu d'un segment en coordonnées
Le milieu $M$ d'un segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $A$ et $B$ : $M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$.
Exemple
Si deux villes sont aux positions $(0, 0)$ et $(10, 6)$ sur une carte, le point à mi-chemin entre elles est à $(5, 3)$.
À retenir : Le milieu d'un segment est la moyenne des coordonnées de ses extrémités.
Colinéarité de deux vecteurs : critère et applications
Deux vecteurs $\vec{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$. Le critère : $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
Exemple
Deux routes parallèles ont des directions colinéaires : si tu les représentes par des vecteurs, l'un est un multiple de l'autre.
À retenir : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ (déterminant nul).
Les points clés
- Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur (norme).
- La relation de Chasles permet de simplifier les sommes : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
- Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ se calculent par soustraction : $(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
- Deux vecteurs colinéaires ont la même direction (l'un est un multiple de l'autre).
- Le critère de colinéarité : $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
L'essentiel
Les vecteurs permettent de décrire des déplacements et des directions ; en coordonnées, on les manipule comme des couples de nombres.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un repère, on a $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ et $C(7, 10)$. Montre que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés en utilisant la colinéarité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $M$ le milieu de $[AB]$ avec $A(2, 5)$ et $B(8, 1)$. Calcule les coordonnées de $M$, puis trouve les coordonnées du vecteur $\vec{AM}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →