Vecteurs du plan en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de vecteurs du plan pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
- Somme de vecteurs, relation de Chasles, différence
- Produit d'un vecteur par un réel
- Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB
- Norme d'un vecteur
- Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment
- Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
- Alignement et parallélisme par la colinéarité
- Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires
Ce que tu vas réviser
- Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
- Somme de vecteurs, relation de Chasles, différence
- Produit d'un vecteur par un réel
- Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB
- Norme d'un vecteur
- Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment
- Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
- Alignement et parallélisme par la colinéarité
- Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires
Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est associé à la translation qui transforme $A$ en $B$. Pour $A \neq B$, il est caractérisé par une direction (celle de la droite $(AB)$), un sens (de $A$ vers $B$) et une norme (la longueur $AB$). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme ; $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ équivaut à « $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) ». Un même vecteur $\vec{u}$ a une infinité de représentants : tous les couples de points $(A, B)$ tels que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est $\overrightarrow{AA}$ ; sa norme est $0$.
Exemple
Dans le parallélogramme $ABCD$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, donc $(A, B)$ et $(D, C)$ sont deux représentants d'un même vecteur. En revanche, $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$ : même direction et même norme, mais sens contraires.
À retenir : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
Somme de vecteurs, relation de Chasles, différence
La somme $\vec{u} + \vec{v}$ correspond à l'enchaînement des deux translations. Relation de Chasles : pour tous points $A$, $B$, $C$, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Avec deux représentants de même origine, on utilise la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ lorsque $ABCD$ est un parallélogramme. L'opposé de $\vec{v}$, noté $-\vec{v}$, a même direction et même norme que $\vec{v}$ mais un sens contraire ; $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$ et $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
Exemple
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MN}$ (Chasles deux fois). $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.
À retenir : Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ; différence : $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$.
Produit d'un vecteur par un réel
Pour $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k$ réel non nul, le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$, et une norme égale à $|k| \times \|\vec{u}\|$. Par convention, $0\vec{u} = \vec{0}$ et $k\vec{0} = \vec{0}$. En coordonnées, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors $k\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$.
Exemple
Si $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$, alors $C$ est sur la demi-droite $[AB)$ et $AC = 3AB$. Si $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, alors $-3\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$.
À retenir : $k\vec{u}$ : même direction que $\vec{u}$ ; même sens si $k > 0$, sens contraire si $k < 0$ ; norme multipliée par $|k|$.
Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB
Une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$ est formée de deux vecteurs de norme $1$ et de directions perpendiculaires. Tout vecteur s'écrit de façon unique $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont les coordonnées de $\vec{u}$, notées en colonne $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i}, \vec{j})$, pour $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$. Les coordonnées d'une somme de vecteurs sont les sommes des coordonnées.
Exemple
Avec $A(2 ; 3)$ et $B(5 ; 7)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Si $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, alors $\overrightarrow{AB} + \vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$.
À retenir : Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : « arrivée moins départ ». Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
Norme d'un vecteur
La norme de $\vec{u}$, notée $\|\vec{u}\|$, est sa longueur : $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$. Dans une base orthonormée, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). On en déduit la distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Exemple
Avec $A(2 ; 3)$ et $B(5 ; 7)$ : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
À retenir : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$, formule valable dans une base orthonormée.
Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment
$I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$, ce qui équivaut à $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. En coordonnées, on en déduit $I\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
Exemple
Avec $A(2 ; 5)$ et $B(8 ; 1)$ : $I(5 ; 3)$. On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, donc bien $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
À retenir : $I$ milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ ; ses coordonnées sont les moyennes de celles de $A$ et de $B$.
Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel (le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur). Dans une base orthonormée, le déterminant de $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ est $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$, c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Exemple
$\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$ : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - (-4) \times (-3) = 12 - 12 = 0$, donc ils sont colinéaires (en effet $\vec{v} = -2\vec{u}$). Avec $\vec{w}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $\det(\vec{u}, \vec{w}) = 2 \times 1 - 1 \times (-3) = 5 \neq 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires.
À retenir : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$, c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Alignement et parallélisme par la colinéarité
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Exemple
$A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; 10)$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$, donc $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times 8 - 6 \times 4 = 0$ : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.
À retenir : Alignement et parallélisme se démontrent en montrant qu'un déterminant est nul.
Décomposer un vecteur selon deux vecteurs non colinéaires
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ du plan s'écrit de façon unique $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, avec $a$ et $b$ réels. Pour trouver $a$ et $b$, on utilise la relation de Chasles sur une figure, ou bien on résout un système à partir des coordonnées.
Exemple
Dans le parallélogramme $ABCD$ de centre $O$ : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. En coordonnées : avec $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, on cherche $a$ et $b$ tels que $a + b = 5$ et $b = 2$, d'où $\vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}$.
À retenir : Deux vecteurs non colinéaires suffisent pour exprimer tous les vecteurs du plan.
Les points clés
- $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
- Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
- $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ ; en base orthonormée, $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
- $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$.
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$.
- $A$, $B$, $C$ alignés : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires ; $(AB)$ parallèle à $(CD)$ : $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ colinéaires.
L'essentiel
Un vecteur code un déplacement (direction, sens, norme) ; on le manipule géométriquement (Chasles, parallélogramme) ou par ses coordonnées, et le déterminant permet de tester la colinéarité, donc l'alignement et le parallélisme.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →