Produit d'un vecteur par un réel en 2nde
Produit d'un vecteur par un réel, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Vecteurs du plan », au programme de 2nde. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Produit d'un vecteur par un réel : le cours
Pour $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k$ réel non nul, le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$, et une norme égale à $|k| \times \|\vec{u}\|$. Par convention, $0\vec{u} = \vec{0}$ et $k\vec{0} = \vec{0}$. En coordonnées, si $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors $k\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$.
Exemple
Si $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$, alors $C$ est sur la demi-droite $[AB)$ et $AC = 3AB$. Si $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, alors $-3\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}$.
À retenir
$k\vec{u}$ : même direction que $\vec{u}$ ; même sens si $k > 0$, sens contraire si $k < 0$ ; norme multipliée par $|k|$.
S'entraîner sur produit d'un vecteur par un réel
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$, $C(4 ; 1)$ et $D(0 ; -1)$. 1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{DC}$. 2. Vérifie que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déduis-en que $ABCD$ est un parallélogramme. 3. Calcule les coordonnées de son centre $I$ et la longueur $AB$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(7 ; y)$ avec $y$ réel, $D(0 ; 0)$ et $E(-6 ; -8)$. 1. Détermine $y$ pour que $A$, $B$, $C$ soient alignés. 2. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Vecteurs du plan (Mathématiques 2nde).
Autres notions de ce chapitre
- Égalité de deux vecteurs, représentants, vecteur nul
- Somme de vecteurs, relation de Chasles, différence
- Base orthonormée : coordonnées d'un vecteur, coordonnées de AB
- Norme d'un vecteur
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- Colinéarité : déterminant de deux vecteurs, proportionnalité des coordonnées
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