Inéquations et intervalles en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de inéquations et intervalles pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Intervalles de ℝ : notation, représentation, réunion, intersection
- Valeur absolue et distance entre deux réels
- Inéquation |x − a| ≤ r et intervalle [a − r ; a + r]
- Encadrement décimal d'un réel à 10⁻ⁿ près
- Inégalités : somme, produit par un réel positif ou négatif
- Inéquations du premier degré à une inconnue
- Tableaux de signes d'une expression produit ou quotient
- Résoudre graphiquement une inéquation
- Lien entre signe d'une fonction et résolution d'inéquations
Ce que tu vas réviser
- Intervalles de ℝ : notation, représentation, réunion, intersection
- Valeur absolue et distance entre deux réels
- Inéquation |x − a| ≤ r et intervalle [a − r ; a + r]
- Encadrement décimal d'un réel à 10⁻ⁿ près
- Inégalités : somme, produit par un réel positif ou négatif
- Inéquations du premier degré à une inconnue
- Tableaux de signes d'une expression produit ou quotient
- Résoudre graphiquement une inéquation
- Lien entre signe d'une fonction et résolution d'inéquations
Intervalles de ℝ : notation, représentation, réunion, intersection
Un intervalle est l'ensemble des réels compris entre deux bornes. Le crochet est tourné vers le nombre si la borne est incluse, vers l'extérieur si elle est exclue : $[a ; b]$ est l'ensemble des $x$ tels que $a \leq x \leq b$ ; $]a ; b[$ celui des $x$ tels que $a < x < b$ ; $[a ; +\infty[$ celui des $x$ tels que $x \geq a$ ; $]-\infty ; b[$ celui des $x$ tels que $x < b$. Du côté de $+\infty$ ou de $-\infty$, le crochet est toujours ouvert. L'intersection $I \cap J$ contient les réels qui sont dans $I$ et dans $J$ ; la réunion $I \cup J$ ceux qui sont dans $I$ ou dans $J$ (ou dans les deux).
Exemple
$[2 ; 5[$ contient $2$ mais pas $5$ : sur la droite graduée, on colorie le segment de $2$ à $5$, avec le crochet tourné vers l'intérieur en $2$ et vers l'extérieur en $5$. Avec $I = [-1 ; 4]$ et $J = ]2 ; 7]$ : $I \cap J = ]2 ; 4]$ et $I \cup J = [-1 ; 7]$.
À retenir : Crochet tourné vers le nombre : borne incluse ; crochet tourné vers l'extérieur : borne exclue. $\cap$ se lit « et », $\cup$ se lit « ou ».
Valeur absolue et distance entre deux réels
La valeur absolue d'un réel $a$, notée $|a|$, est sa distance à $0$ sur la droite numérique : $|a| = a$ si $a \geq 0$ et $|a| = -a$ si $a < 0$. La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a - b|$, qui est égal à $|b - a|$.
Exemple
$|5| = 5$, $|-3| = 3$ et $|0| = 0$. La distance entre $-2$ et $5$ est $|5 - (-2)| = |7| = 7$.
À retenir : Une valeur absolue est toujours positive ou nulle ; $|a - b|$ est la distance entre $a$ et $b$.
Inéquation |x − a| ≤ r et intervalle [a − r ; a + r]
Pour $r > 0$, l'inéquation $|x - a| \leq r$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$ : ses solutions forment l'intervalle $[a - r ; a + r]$, de centre $a$ et de rayon $r$. De même, $|x - a| < r$ équivaut à $x \in ]a - r ; a + r[$.
Exemple
$|x - 3| \leq 2$ équivaut à $1 \leq x \leq 5$, soit $x \in [1 ; 5]$. Inversement, l'intervalle $[-4 ; 6]$ a pour centre $\frac{-4 + 6}{2} = 1$ et pour rayon $5$ : il est décrit par $|x - 1| \leq 5$.
À retenir : $|x - a| \leq r$ si et seulement si $x \in [a - r ; a + r]$ (centre $a$, rayon $r$).
Encadrement décimal d'un réel à 10⁻ⁿ près
Encadrer un réel $x$, c'est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$ ; l'amplitude de l'encadrement est $b - a$. Un encadrement décimal de $x$ à $10^{-n}$ près est un encadrement par deux nombres décimaux d'amplitude $10^{-n}$, par exemple $a \leq x \leq a + 10^{-n}$ où $a$ a $n$ chiffres après la virgule.
Exemple
Comme $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$, on a $1{,}41 \leq \sqrt{2} \leq 1{,}42$ : c'est un encadrement de $\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près. De même, $3{,}141 \leq \pi \leq 3{,}142$ est un encadrement de $\pi$ à $10^{-3}$ près.
À retenir : Plus $n$ est grand, plus l'encadrement est précis. Un nombre irrationnel comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ n'a pas d'écriture décimale exacte : on l'encadre ou on en donne une valeur approchée.
Inégalités : somme, produit par un réel positif ou négatif
On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer son sens : si $a < b$, alors $a + c < b + c$. On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens : si $a < b$ et $c < d$, alors $a + c < b + d$. Si l'on multiplie (ou divise) les deux membres par un réel strictement positif, le sens est conservé ; par un réel strictement négatif, le sens est inversé.
Exemple
De $2 < x < 5$ on déduit $4 < 2x < 10$ (multiplication par $2$) et $-10 < -2x < -4$ (multiplication par $-2$ : les inégalités changent de sens).
À retenir : Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif inverse le sens de l'inégalité : c'est lié au fait que la fonction $x \mapsto kx$ est décroissante lorsque $k < 0$.
Inéquations du premier degré à une inconnue
Une inéquation d'inconnue $x$ est une inégalité qui contient $x$ ; la résoudre, c'est trouver l'ensemble de tous les réels qui la vérifient. Pour une inéquation du premier degré (du type $ax + b < cx + d$), on isole $x$ grâce aux règles sur les inégalités, puis on écrit l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Exemple
$3x + 5 > 14 \iff 3x > 9 \iff x > 3$, donc $S = ]3 ; +\infty[$. Situation concrète : un abonnement de cinéma coûte $50$ € par mois et une place coûte $8$ € sans abonnement. L'abonnement est plus avantageux pour $x$ films quand $8x > 50$, soit $x > 6{,}25$ : à partir de $7$ films par mois.
À retenir : L'ensemble des solutions s'écrit sous forme d'intervalle ; vérifier avec une valeur test est un bon réflexe.
Tableaux de signes d'une expression produit ou quotient
Pour résoudre $A(x) \times B(x) > 0$ ou $\frac{A(x)}{B(x)} > 0$ (par exemple avec $A$ et $B$ affines), on étudie le signe de chaque facteur, on les range dans un tableau de signes (valeurs d'annulation dans l'ordre croissant), puis on applique la règle des signes. Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite : on la marque d'une double barre et on l'exclut des solutions.
Exemple
Signe de $\frac{x - 2}{x + 1}$ : $x - 2$ s'annule en $2$ et $x + 1$ en $-1$ (valeur interdite). Le quotient est positif sur $]-\infty ; -1[$, négatif sur $]-1 ; 2[$, nul en $2$ et positif sur $]2 ; +\infty[$. Donc l'inéquation $\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0$ a pour ensemble de solutions $]-\infty ; -1[ \cup [2 ; +\infty[$.
À retenir : Une ligne par facteur, puis la règle des signes ; double barre et crochet ouvert pour une valeur interdite.
Résoudre graphiquement une inéquation
Les solutions de $f(x) > k$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés strictement au-dessus de la droite d'équation $y = k$. Les solutions de $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est strictement en dessous de $\mathcal{C}_g$. On lit les bornes sur l'axe des abscisses, en regardant si elles sont incluses ou non.
Exemple
Si la courbe de $f$ coupe la droite d'équation $y = 2$ aux points d'abscisses $-1$ et $3$, et se trouve au-dessus de cette droite exactement entre ces deux abscisses, alors $f(x) > 2$ a pour ensemble de solutions $]-1 ; 3[$ et $f(x) \geq 2$ a pour ensemble $[-1 ; 3]$.
À retenir : Graphiquement, les solutions sont des valeurs de $x$ (lues en abscisse), pas des valeurs de $y$ ; la lecture donne en général des valeurs approchées.
Lien entre signe d'une fonction et résolution d'inéquations
Résoudre $f(x) > 0$, c'est trouver où $f$ est strictement positive, c'est-à-dire où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses. Pour résoudre $f(x) > g(x)$, on étudie le signe de la différence $f(x) - g(x)$ : on transforme l'inéquation pour avoir $0$ dans un membre, on factorise si possible, puis on dresse un tableau de signes.
Exemple
$x^2 > 3x \iff x^2 - 3x > 0 \iff x(x - 3) > 0$. Le tableau de signes montre que $x(x - 3)$ est strictement positif sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]3 ; +\infty[$ : $S = ]-\infty ; 0[ \cup ]3 ; +\infty[$.
À retenir : Méthode : tout passer dans un membre, factoriser, dresser le tableau de signes, lire l'ensemble des solutions.
Les points clés
- $[a ; b]$ : bornes incluses ; $]a ; b[$ : bornes exclues ; le crochet est toujours ouvert en $+\infty$ et en $-\infty$.
- $|a - b|$ est la distance entre $a$ et $b$ ; $|x - a| \leq r$ équivaut à $x \in [a - r ; a + r]$.
- Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre strictement négatif en change le sens.
- Produit ou quotient : tableau de signes, une ligne par facteur, double barre pour une valeur interdite.
- Résoudre $f(x) > g(x)$ revient à étudier le signe de $f(x) - g(x)$.
L'essentiel
Résoudre une inéquation, c'est déterminer l'ensemble de tous les réels qui la vérifient, écrit à l'aide d'intervalles ; on y parvient grâce aux règles sur les inégalités, à un tableau de signes ou à une lecture graphique.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
1. Résous l'inéquation $-2x + 7 \leq 3$ et exprime l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. 2. Résous l'inéquation $|x - 2| < 3$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous $(x - 1)(x + 4) < 0$ à l'aide d'un tableau de signes.
Corrige cet exercice avec le tuteur →