Inéquations et intervalles en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de inéquations et intervalles pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Inéquations du premier degré à une inconnue
- Résolution algébrique d'inéquations
- Tableaux de signes d'une expression produit ou quotient
- Intervalles de ℝ : notation, réunion, intersection
- Encadrement et valeur approchée
- Résoudre graphiquement une inéquation
- Lien entre signe d'une fonction et résolution d'inéquations
Inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (généralement x). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie.
Exemple
Un cinéma propose un abonnement à 50€ par mois. Sans abonnement, une place coûte 8€. À partir de combien de films par mois l'abonnement devient-il rentable ? On cherche x tel que 50 < 8x.
À retenir : Résoudre une inéquation, c'est isoler l'inconnue en appliquant les mêmes opérations des deux côtés, sauf si on multiplie ou divise par un nombre négatif : on inverse alors le signe.
Résolution algébrique d'inéquations
C'est la méthode pour trouver la solution en manipulant l'inéquation étape par étape, comme pour une équation, en respectant les règles de priorité et les propriétés des inégalités.
Exemple
Pour résoudre 3x + 5 > 14 : on soustrait 5, puis on divise par 3. On obtient x > 3. Cela signifie que tous les nombres strictement plus grands que 3 sont solutions.
À retenir : Quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on DOIT inverser le signe de l'inégalité.
Tableaux de signes pour produits et quotients
Un tableau de signes permet de déterminer le signe d'une expression (positive, négative ou nulle) selon les valeurs de x. C'est utile pour résoudre des inéquations plus complexes.
Exemple
Pour savoir quand $(x - 2)(x + 3) > 0$, on crée un tableau : on trouve les racines (x = 2 et x = -3), puis on teste le signe dans chaque intervalle. La solution est $x < -3$ ou $x > 2$.
À retenir : Dans un tableau de signes, on place les racines en ordre croissant, on teste le signe de chaque facteur dans chaque intervalle, puis on applique la règle des signes.
Intervalles de ℝ : notation et représentation
Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes. On utilise des crochets [ ou ] pour inclure la borne, et des parenthèses ( ou ) pour l'exclure.
Exemple
L'intervalle $[2 ; 5[$ contient tous les nombres de 2 à 5, en incluant 2 mais pas 5. Sur une droite graduée, on marque 2 avec un point plein et 5 avec un point vide.
À retenir : Crochet fermé [ ou ] = la borne est incluse ; parenthèse ( ou ) = la borne est exclue.
Réunion et intersection d'intervalles
L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent aux DEUX à la fois. La réunion est l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'UN OU l'AUTRE (ou aux deux).
Exemple
Si on cherche les x qui vérifient à la fois $x > 1$ ET $x < 5$, l'intersection est $]1 ; 5[$. Si on cherche $x < 0$ OU $x > 3$, la réunion est $]-∞ ; 0[ ∪ ]3 ; +∞[$.
À retenir : Intersection (∩) = ET ; Réunion (∪) = OU.
Encadrement et valeur approchée
Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux bornes : dire qu'il est plus grand que l'une et plus petit que l'autre. Une valeur approchée est un nombre proche du vrai résultat.
Exemple
Si on sait que $2 < π < 3,15$, on dit que π est encadré. Une valeur approchée de π est 3,14 (à 0,01 près).
À retenir : Un encadrement s'écrit sous la forme $a < x < b$ ou $a ≤ x ≤ b$.
Résolution graphique d'inéquations
Au lieu de calculer, on utilise la courbe d'une fonction pour trouver où elle est au-dessus ou au-dessous de l'axe des x (ou d'une droite).
Exemple
Pour résoudre $f(x) > 0$ graphiquement, on regarde la courbe de f et on note les intervalles où elle est au-dessus de l'axe des abscisses.
À retenir : Graphiquement, $f(x) > 0$ correspond aux portions de courbe au-dessus de l'axe des x.
Lien entre signe d'une fonction et résolution
Le signe d'une fonction (positif ou négatif) détermine où sa courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe des x. Cela permet de résoudre des inéquations sans calcul.
Exemple
Si $f(x) = x - 3$, alors $f(x) > 0$ quand $x > 3$ (la fonction est positive). On peut le voir sur le graphe : la droite est au-dessus de l'axe pour $x > 3$.
À retenir : Étudier le signe d'une fonction, c'est déterminer les intervalles où elle est positive, négative ou nulle.
Les points clés
- Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif dans une inéquation, on inverse le signe d'inégalité.
- Un tableau de signes organise les racines et teste le signe dans chaque intervalle.
- Les intervalles se notent avec [ ] (fermé, borne incluse) ou ( ) (ouvert, borne exclue).
- L'intersection (∩) est l'ensemble commun ; la réunion (∪) est l'ensemble total.
- Résoudre graphiquement une inéquation, c'est lire sur la courbe où elle satisfait la condition.
L'essentiel
Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui la rendent vraie, et exprimer la solution sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un artisan fabrique des objets en bois. Le coût de production d'un objet est de 5€ et il vend chaque objet 12€. Il a des frais fixes mensuels de 200€. Déterminer le nombre minimal d'objets qu'il doit vendre pour réaliser un bénéfice. Exprimer ce résultat à l'aide d'une inéquation et d'un intervalle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = -2x + 7. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) ≥ 3.
Corrige cet exercice avec le tuteur →