Fonctions de la variable réelle en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions de la variable réelle pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Représentations d'une fonction
- Taux de variation et pente d'une sécante
- Fonctions monotones et signe du taux de variation
- Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet
- Associer une parabole à une expression
- Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée
- Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine
- Résolution graphique d'équations et d'inéquations
Ce que tu vas réviser
- Représentations d’une fonction : expression littérale, courbe
- Taux de variation entre deux valeurs, pente d’une sécante
- Fonctions monotones et signe du taux de variation
- Fonctions polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet
- Racines et signe d’un polynôme de degré 2 sous forme factorisée
- Résolution graphique d’équations et d’inéquations
Représentations d'une fonction
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre $f(x)$. On note $f : x \mapsto f(x)$ (« $f$ associe à $x$ le nombre $f(x)$ »). On peut la donner par une expression littérale (une formule) ou par sa courbe représentative : l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $y = f(x)$. On dit que $y = f(x)$ est une équation de la courbe.
Exemple
Soit $f : x \mapsto 3x^2 - 2$. On a $f(2) = 3 \times 4 - 2 = 10$, donc le point $A(2 ; 10)$ est sur la courbe de $f$. Le point $B(1 ; 2)$ n'y est pas, car $f(1) = 3 - 2 = 1 \neq 2$.
À retenir : Un point $M(x ; y)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si $y = f(x)$.
Taux de variation et pente d'une sécante
Le taux de variation de $f$ entre deux nombres distincts $a$ et $b$ est $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. C'est la pente (le coefficient directeur) de la sécante, c'est-à-dire de la droite qui passe par les points $A(a ; f(a))$ et $B(b ; f(b))$ de la courbe.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ entre $a = 1$ et $b = 3$ : $\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$. La sécante qui passe par $A(1 ; 1)$ et $B(3 ; 9)$ a pour pente 4 : en moyenne, quand $x$ augmente de 1 entre 1 et 3, $f(x)$ augmente de 4.
À retenir : Taux de variation entre $a$ et $b$ : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ = pente de la sécante $(AB)$.
Fonctions monotones et signe du taux de variation
Une fonction est monotone sur un intervalle $I$ si elle y est croissante ou décroissante. $f$ est croissante sur $I$ lorsque tous ses taux de variation entre deux nombres de $I$ sont positifs ou nuls ; elle est décroissante sur $I$ lorsqu'ils sont tous négatifs ou nuls. S'ils sont tous strictement positifs (ou tous strictement négatifs), $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
Exemple
Pour $g(x) = -2x + 5$ et deux nombres distincts $a$ et $b$ : $\frac{g(b) - g(a)}{b - a} = \frac{-2b + 5 + 2a - 5}{b - a} = \frac{-2(b - a)}{b - a} = -2$. Le taux de variation vaut toujours $-2 < 0$ : $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
À retenir : Taux de variation toujours positif sur $I$ : $f$ croissante sur $I$ ; toujours négatif : $f$ décroissante sur $I$.
Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet
La courbe d'une fonction polynôme de degré 2, $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, est une parabole. Si $a > 0$, elle est « tournée vers le haut » (en forme de U) ; si $a < 0$, elle est « tournée vers le bas » (en forme de U inversé). Elle admet un axe de symétrie vertical, et son sommet est le point de la parabole situé sur cet axe. Pour $f(x) = ax^2$ ou $f(x) = ax^2 + b$, l'axe est l'axe des ordonnées ($x = 0$) ; pour $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, l'axe est la droite d'équation $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
Exemple
Pour $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$ : $a = 2 > 0$, la parabole est tournée vers le haut. L'axe de symétrie est la droite $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$. Le sommet a pour abscisse 3 et pour ordonnée $f(3) = 2 \times 2 \times (-2) = -8$ : c'est le point $S(3 ; -8)$, où $f$ atteint son minimum.
À retenir : Signe de $a$ : orientation de la parabole. Sommet : sur l'axe de symétrie ; c'est un minimum si $a > 0$, un maximum si $a < 0$.
Associer une parabole à une expression
$y = ax^2$ : parabole de sommet l'origine $O$, tournée vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$ ; plus $|a|$ est grand, plus elle est « resserrée ». $y = ax^2 + b$ : même parabole décalée verticalement de $b$, de sommet $(0 ; b)$. $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ : parabole qui coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$.
Exemple
On cherche une parabole tournée vers le bas, de sommet $(0 ; 4)$, qui passe par le point $(2 ; 0)$. Elle est du type $y = ax^2 + 4$, et $0 = a \times 2^2 + 4$ donne $a = -1$ : $y = -x^2 + 4$. On peut aussi l'écrire $y = -(x - 2)(x + 2)$ : elle coupe l'axe des abscisses en $-2$ et en $2$.
À retenir : $ax^2$ : sommet $O$ ; $ax^2 + b$ : sommet $(0 ; b)$ ; $a(x - x_1)(x - x_2)$ : intersections avec l'axe des abscisses en $x_1$ et $x_2$. Dans tous les cas, le signe de $a$ donne l'orientation.
Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée
Les racines de $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ sont les solutions de $f(x) = 0$ : par la règle du produit nul, ce sont $x_1$ et $x_2$. Si $x_1 < x_2$, $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (pour $x < x_1$ ou $x > x_2$) et du signe contraire de $a$ entre les racines (pour $x_1 < x < x_2$).
Exemple
Pour $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$ : les racines sont 1 et 5. Comme $a = 2 > 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < 1$ ou $x > 5$, et $f(x) < 0$ pour $1 < x < 5$. Vérification : $f(3) = -8 < 0$.
À retenir : Signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine
Si $x_1$ est une racine de $f(x) = ax^2 + bx + c$ (c'est-à-dire $f(x_1) = 0$), alors on peut écrire $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_2$ est l'autre racine (éventuellement égale à $x_1$). Pour trouver $x_2$, on développe $a(x - x_1)(x - x_2)$ et on identifie avec $ax^2 + bx + c$ ; en particulier, les termes constants donnent $a \times x_1 \times x_2 = c$.
Exemple
Soit $f(x) = x^2 - 5x + 6$. On a $f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$, donc 2 est une racine et $f(x) = (x - 2)(x - x_2)$. Les termes constants donnent $2 \times x_2 = 6$, donc $x_2 = 3$. Vérification : $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
À retenir : Méthode : vérifier que $f(x_1) = 0$, écrire $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, trouver $x_2$ en comparant les termes constants, puis vérifier en développant.
Résolution graphique d'équations et d'inéquations
Les solutions de l'équation $f(x) = k$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$. Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessous de cette droite (au-dessus pour $f(x) > k$). De même, les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ : la droite $y = 4$ coupe la parabole aux points d'abscisses $-2$ et $2$, donc $f(x) = 4$ a pour solutions $-2$ et $2$. La courbe est au-dessous de cette droite entre ces deux points : $f(x) < 4$ pour $-2 < x < 2$.
À retenir : Équation : on lit les abscisses des points d'intersection. Inéquation : on lit l'intervalle (ou les intervalles) où la courbe est au-dessous (ou au-dessus) de la droite.
Les points clés
- $M(x ; y)$ est sur la courbe de $f$ si et seulement si $y = f(x)$ ; on note aussi $f : x \mapsto f(x)$
- Taux de variation entre $a$ et $b$ : $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, pente de la sécante
- Taux de variation toujours positif : fonction croissante ; toujours négatif : fonction décroissante
- Parabole de $ax^2 + bx + c$ : tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$
- Pour $a(x - x_1)(x - x_2)$ : axe de symétrie $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$, racines $x_1$ et $x_2$
- Sous forme factorisée : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles
- Connaissant une racine $x_1$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ et $a x_1 x_2 = c$
- Résoudre graphiquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ : utiliser la droite horizontale $y = k$
L'essentiel
Une fonction se lit sur sa formule ou sur sa courbe. Le taux de variation (pente d'une sécante) indique si elle croît ou décroît. Pour un polynôme de degré 2, la forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ donne tout : racines, axe de symétrie, sommet et signe.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. 1) Vérifie que 1 est une racine de $f$. 2) Factorise $f(x)$. 3) Donne l'axe de symétrie et le sommet de la parabole représentant $f$. 4) Donne le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$. 1) Calcule $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$ et $g(4)$, puis trace l'allure de la courbe de $g$ à partir de ce tableau de valeurs (ou affiche-la à la calculatrice). 2) Résous graphiquement $g(x) = 0$, puis $g(x) > 0$. 3) Sachant que 1 est une racine de $g$, factorise $g(x)$ et vérifie tes réponses par le calcul.
Corrige cet exercice avec le tuteur →