Dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Taux de variation et nombre dérivé
- Tangente à la courbe en un point
- Dérivées des fonctions usuelles
- Opérations sur les dérivées
- Application à l'étude de variations et aux extremums
Taux de variation et nombre dérivé
Le taux de variation mesure comment une fonction change entre deux points. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand les deux points se rapprochent : c'est la vitesse instantanée de changement.
Exemple
Sur l'autoroute, le taux de variation est la distance parcourue divisée par le temps. Le nombre dérivé est votre vitesse exacte à un instant précis (celle affichée au compteur).
À retenir : Le nombre dérivé en un point est $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Tangente à la courbe en un point
La tangente est la droite qui touche la courbe en un seul point et qui suit sa direction à cet endroit. Son coefficient directeur est exactement le nombre dérivé.
Exemple
Imaginez une voiture qui suit une route courbe. À chaque instant, la direction du volant correspond à la tangente de la route à ce point.
À retenir : L'équation de la tangente au point $(a, f(a))$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Dérivées des fonctions usuelles
Ce sont les formules toutes faites pour calculer rapidement la dérivée des fonctions simples (puissances, racine, exponentielle, etc.) sans utiliser la limite.
Exemple
Au lieu de calculer la limite pour dériver $x^3$, on utilise directement la formule : $(x^n)' = nx^{n-1}$, donc $(x^3)' = 3x^2$.
À retenir : Mémoriser : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Opérations sur les dérivées
Ce sont les règles pour dériver des fonctions composées ou combinées : somme, produit, quotient, composition. Elles permettent de dériver n'importe quelle fonction complexe.
Exemple
Pour dériver $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$, on dérive chaque terme : $f'(x) = 6x + 2$. Pour $g(x) = x^2 \cdot e^x$, on utilise la règle du produit.
À retenir : $(u + v)' = u' + v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Application à l'étude de variations et extremums
La dérivée indique si une fonction monte ou descend. Quand la dérivée s'annule, on trouve les points où la fonction atteint ses maximums ou minimums (extremums).
Exemple
Un ballon lancé en l'air monte puis descend. Sa hauteur augmente (dérivée positive), s'arrête au sommet (dérivée nulle = maximum), puis diminue (dérivée négative).
À retenir : Si $f'(x) > 0$ la fonction monte, si $f'(x) < 0$ elle descend, si $f'(x) = 0$ c'est un extremum possible
Les points clés
- La dérivée mesure la vitesse de changement d'une fonction à un point donné
- La tangente à la courbe a pour pente le nombre dérivé au point de contact
- Les formules de dérivation permettent de calculer rapidement sans utiliser les limites
- Les règles d'opération (somme, produit, quotient) permettent de dériver des fonctions complexes
- Étudier le signe de la dérivée permet de trouver où la fonction augmente, diminue et ses extremums
L'essentiel
La dérivée est l'outil principal pour comprendre comment une fonction change : elle indique la pente à chaque point et permet de trouver les maximums et minimums.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 2
Comparer les variations de f(x) = x² et g(x) = 2x à partir de leurs dérivées.
Corrige cet exercice avec le tuteur →