Dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Sécantes et taux de variation en un point
- Tangente à une courbe, position limite des sécantes
- Nombre dérivé : coefficient directeur de la tangente
- Équation réduite de la tangente en un point
- Fonctions dérivées de x ↦ x² et x ↦ x³
- Dérivée d'une somme, de k·f, d'un polynôme de degré ≤ 3
- Signe de la dérivée et sens de variation ; tableau de variations, extremums
Sécantes et taux de variation en un point
Soit $f$ une fonction et $a$ un réel. Pour $h \neq 0$, la sécante à la courbe passant par les points $A(a \,; f(a))$ et $M(a + h \,; f(a + h))$ a pour coefficient directeur le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ : $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ et $a = 1$ : avec $h = 1$, le taux vaut $\frac{4 - 1}{1} = 3$ ; avec $h = 0{,}1$, il vaut $\frac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = 2{,}1$ ; avec $h = 0{,}01$, il vaut $2{,}01$. Pour un mobile, ce taux est une vitesse moyenne entre deux instants.
À retenir : Taux de variation en $a$ : $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ = coefficient directeur de la sécante $(AM)$.
Tangente, position limite des sécantes
Quand $h$ se rapproche de 0, le point $M$ se rapproche de $A$ et la sécante $(AM)$ se rapproche d'une droite « limite » : la tangente à la courbe au point $A$. Elle indique la direction de la courbe en ce point. (Une tangente peut recouper la courbe ailleurs, ou même la traverser au point de contact.)
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$, les coefficients directeurs des sécantes (3 ; 2,1 ; 2,01...) se rapprochent de 2 : la tangente en $A(1 \,; 1)$ a pour coefficient directeur 2.
À retenir : La tangente en un point est la position limite des sécantes passant par ce point.
Nombre dérivé : coefficient directeur de la tangente
Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite du taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0 (approche intuitive). C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
Exemple
Sur l'autoroute, le taux de variation est la distance parcourue divisée par le temps. Le nombre dérivé est votre vitesse exacte à un instant précis (celle affichée au compteur). En économie, le nombre dérivé de la fonction coût est relié au coût marginal.
À retenir : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ = coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
Équation réduite de la tangente en un point
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ passe par le point $(a \,; f(a))$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$, donc la tangente a pour équation $y = 2(x - 1) + 1$, soit $y = 2x - 1$.
À retenir : Équation réduite de la tangente au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Fonctions dérivées de x ↦ x² et x ↦ x³
La fonction dérivée $f'$ associe à chaque réel $x$ le nombre dérivé $f'(x)$. On connaît les dérivées des fonctions de référence suivantes.
Exemple
Si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^2$ et $f'(2) = 12$ : la tangente au point d'abscisse 2 a pour coefficient directeur 12.
À retenir : Dérivée d'une constante : 0 ; $(x)' = 1$ ; $(x^2)' = 2x$ ; $(x^3)' = 3x^2$.
Dérivée d'une somme, de k·f, d'un polynôme de degré ≤ 3
Pour dériver une somme, on dérive chaque terme ; un coefficient multiplicateur constant $k$ se conserve. On peut ainsi dériver tout polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Exemple
Pour $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$ : $f'(x) = 3 \times 2x + 2 = 6x + 2$. Pour $g(x) = -2x^3 + x^2 + 4$ : $g'(x) = -6x^2 + 2x$.
À retenir : $(u + v)' = u' + v'$ et $(k u)' = k u'$ pour une constante $k$. Donc $(ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c$.
Signe de la dérivée et sens de variation ; tableau de variations, extremums
Sur un intervalle, si $f'(x) > 0$ (sauf éventuellement en quelques points isolés), $f$ est croissante ; si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. On résume l'étude dans un tableau de variations : une ligne pour le signe de $f'(x)$, une ligne de flèches pour les variations de $f$. Un extremum local est atteint en une valeur où $f'$ s'annule en changeant de signe.
Exemple
Un ballon lancé en l'air monte puis descend. Sa hauteur augmente (dérivée positive), s'arrête au sommet (dérivée nulle = maximum), puis diminue (dérivée négative).
À retenir : $f' > 0$ : $f$ croissante ; $f' < 0$ : $f$ décroissante. Si $f'$ s'annule en $a$ en passant de $+$ à $-$, $f$ admet un maximum local en $a$ ; de $-$ à $+$, un minimum local.
Les points clés
- Le taux de variation est le coefficient directeur d'une sécante ; le nombre dérivé est sa limite
- La tangente est la position limite des sécantes ; son coefficient directeur est le nombre dérivé au point de contact
- Équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
- $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$ ; on dérive une somme terme à terme et on conserve les coefficients constants
- Le signe de la dérivée donne le sens de variation ; un changement de signe de la dérivée signale un extremum
L'essentiel
La dérivée est l'outil principal pour comprendre comment une fonction change : elle donne le coefficient directeur de la tangente en chaque point et, par son signe, les variations et les extremums d'une fonction polynôme de degré au plus 3.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ définie sur $\mathbb{R}$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe, dresser le tableau de variations de $f$ et en déduire ses extremums locaux.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Trouvez l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = x^2 + 3x$ au point d'abscisse $x = 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →