Dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Taux de variation et nombre dérivé
- Tangente à une courbe en un point
- Fonction dérivée des fonctions de référence
- Dérivée d'une somme, d'un produit par un scalaire
- Dérivée d'un produit de fonctions
- Dérivée d'un quotient de fonctions
- Lien entre signe de la dérivée et variations
- Extremums d'une fonction : condition nécessaire f'(a)=0
Taux de variation et nombre dérivé
Le taux de variation mesure comment une fonction change entre deux points. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand les deux points se rapprochent infiniment : c'est la vitesse instantanée de changement.
Exemple
Sur l'autoroute, le taux de variation entre deux bornes kilométriques est votre vitesse moyenne. Le nombre dérivé est votre vitesse exacte à un instant précis, celle que montre votre compteur.
À retenir : Le nombre dérivé en $a$ est $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Tangente à une courbe en un point
La tangente est la droite qui touche la courbe en un seul point et qui a la même direction que la courbe à cet endroit. Son coefficient directeur est exactement le nombre dérivé.
Exemple
Imaginez une balle qui roule sur une colline. À chaque instant, la direction de la balle suit la tangente à la pente du terrain.
À retenir : L'équation de la tangente au point $(a, f(a))$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Fonction dérivée des fonctions de référence
Pour chaque fonction usuelle, on peut calculer sa dérivée. Ce sont des formules à connaître qui permettent de trouver rapidement la dérivée sans utiliser la limite.
Exemple
Comme apprendre les tables de multiplication : une fois qu'on les connaît, on gagne du temps au lieu de compter sur ses doigts.
À retenir : Les formules clés : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
Dérivée d'une somme et produit par scalaire
La dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées. La dérivée d'une fonction multipliée par un nombre est ce nombre multiplié par la dérivée.
Exemple
Si vous gagnez 10 euros par jour en vendant des gâteaux et 5 euros par jour en tondant des pelouses, votre gain total augmente de 15 euros par jour.
À retenir : $(f + g)' = f' + g'$ et $(kf)' = kf'$ où $k$ est une constante
Dérivée d'un produit de fonctions
Pour dériver le produit de deux fonctions, on utilise une formule spéciale : on ne peut pas simplement multiplier les dérivées.
Exemple
Si vous augmentez à la fois le prix d'un produit ET la quantité vendue, le revenu total n'augmente pas simplement comme prix' fois quantité'.
À retenir : $(fg)' = f'g + fg'$ (dérivée du premier fois le second, plus le premier fois dérivée du second)
Dérivée d'un quotient de fonctions
Pour dériver une fraction de deux fonctions, on utilise une formule qui ressemble à celle du produit mais avec une soustraction et un carré au dénominateur.
Exemple
Votre note finale est votre score divisé par le nombre de questions. Si le score augmente et le nombre de questions aussi, votre note ne change pas simplement.
À retenir : $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
Lien entre signe de la dérivée et variations
Le signe de la dérivée indique si la fonction monte ou descend : si $f' > 0$, la fonction augmente ; si $f' < 0$, elle diminue.
Exemple
Si votre vitesse (dérivée de la position) est positive, vous avancez. Si elle est négative, vous reculez.
À retenir : Quand $f'(x) > 0$, $f$ est croissante ; quand $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante
Extremums et condition f'(a) = 0
Un extremum est un maximum ou minimum local. À ces points, la tangente est horizontale, donc la dérivée vaut zéro. C'est une condition nécessaire mais pas suffisante.
Exemple
Au sommet d'une montagne ou au fond d'une vallée, si vous marchez, vous êtes momentanément à l'horizontale avant de remonter ou redescendre.
À retenir : Si $f$ a un extremum en $a$, alors $f'(a) = 0$ (mais l'inverse n'est pas toujours vrai)
Les points clés
- La dérivée mesure la vitesse de changement instantanée d'une fonction
- Les formules de dérivation des fonctions de référence doivent être mémorisées
- Le signe de la dérivée détermine si la fonction augmente ou diminue
- Un extremum local se trouve toujours là où la dérivée s'annule
- Les règles de dérivation (somme, produit, quotient) permettent de dériver n'importe quelle fonction
L'essentiel
La dérivée est l'outil pour étudier comment une fonction change : elle donne la pente de la tangente, le sens de variation, et localise les extremums.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Calculez $f'(x)$, puis trouvez les points où $f'(x) = 0$. Déterminez si ce sont des maximums ou des minimums en étudiant le signe de $f'(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Trouvez l'équation de la tangente à la courbe $g(x) = \frac{x}{x+1}$ au point d'abscisse $x = 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →