Dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Taux de variation et nombre dérivé
- Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire
- Fonction dérivée des fonctions de référence
- Dérivée d'une somme, d'un produit par un réel, d'un inverse
- Dérivée d'un quotient de fonctions
- Fonctions paires et impaires
- Lien entre signe de la dérivée et variations
- Extremums et condition f'(a) = 0
Ce que tu vas réviser
- Taux de variation et nombre dérivé
- Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire
- Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée et x ↦ xⁿ
- Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un inverse, d'un quotient
- Fonctions paires et impaires
- Lien entre signe de la dérivée et variations
- Extremums d'une fonction : condition nécessaire f'(a)=0
Taux de variation et nombre dérivé
Le taux de variation mesure comment une fonction change entre deux points. Le nombre dérivé est la limite de ce taux quand les deux points se rapprochent infiniment : c'est la vitesse instantanée de changement.
Exemple
Sur l'autoroute, le taux de variation entre deux bornes kilométriques est votre vitesse moyenne. Le nombre dérivé est votre vitesse exacte à un instant précis, celle que montre votre compteur.
À retenir : Le nombre dérivé en $a$ est $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
Tangente à une courbe en un point et approximation linéaire
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui passe par le point $(a ; f(a))$ et dont le coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$ : c'est la « limite » des sécantes lorsque le second point se rapproche du premier. Attention : une tangente peut recouper la courbe ailleurs. Près de $a$, la courbe est très proche de sa tangente, d'où l'approximation linéaire $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ pour $h$ proche de $0$.
Exemple
Pour $f(x) = x^2$ en $a = 1$ : $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$, donc la tangente a pour équation $y = 2(x - 1) + 1$, soit $y = 2x - 1$. On en déduit $f(1{,}01) \approx 1 + 2 \times 0{,}01 = 1{,}02$ (valeur exacte : $1{,}0201$).
À retenir : L'équation de la tangente au point $(a, f(a))$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Fonction dérivée des fonctions de référence
Pour chaque fonction usuelle, on peut calculer sa dérivée. Ce sont des formules à connaître qui permettent de trouver rapidement la dérivée sans utiliser la limite.
Exemple
Comme apprendre les tables de multiplication : une fois qu'on les connaît, on gagne du temps au lieu de compter sur ses doigts.
À retenir : Carré : $(x^2)' = 2x$ ; cube : $(x^3)' = 3x^2$ ; inverse : $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$ ; racine carrée : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0 ; +\infty[$ (elle n'est pas dérivable en $0$) ; pour $n$ entier relatif, $(x^n)' = nx^{n-1}$ (pour $x \neq 0$ si $n < 0$).
Dérivée d'une somme, d'un produit par un réel, d'un inverse
La dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées. La dérivée d'une fonction multipliée par un nombre est ce nombre multiplié par la dérivée. Si $g$ est dérivable et ne s'annule pas sur un intervalle, $\frac{1}{g}$ y est dérivable et $\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}$.
Exemple
Si vous gagnez 10 euros par jour en vendant des gâteaux et 5 euros par jour en tondant des pelouses, votre gain total augmente de 15 euros par jour.
À retenir : $(f + g)' = f' + g'$ et $(kf)' = kf'$ où $k$ est une constante ; $\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'}{g^2}$ si $g$ ne s'annule pas.
Dérivée d'un produit de fonctions
Pour dériver le produit de deux fonctions, on utilise une formule spéciale : on ne peut pas simplement multiplier les dérivées.
Exemple
Si vous augmentez à la fois le prix d'un produit ET la quantité vendue, le revenu total n'augmente pas simplement comme prix' fois quantité'.
À retenir : $(fg)' = f'g + fg'$ (dérivée du premier fois le second, plus le premier fois dérivée du second)
Dérivée d'un quotient de fonctions
Pour dériver une fraction de deux fonctions, on utilise une formule qui ressemble à celle du produit mais avec une soustraction et un carré au dénominateur.
Exemple
Votre note finale est votre score divisé par le nombre de questions. Si le score augmente et le nombre de questions aussi, votre note ne change pas simplement.
À retenir : $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$, sur un intervalle où $g$ ne s'annule pas.
Fonctions paires et impaires
Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ (si $x \in D$, alors $-x \in D$). $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de $D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de $D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Exemple
$x \mapsto x^2$ et $x \mapsto |x|$ sont paires ; $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto \frac{1}{x}$ sont impaires. $f(x) = x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire : $f(-1) = 0$ alors que $f(1) = 2$.
À retenir : Paire : $f(-x) = f(x)$, symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie par rapport à l'origine. Il suffit alors d'étudier $f$ pour $x \geq 0$ et de compléter par symétrie.
Lien entre signe de la dérivée et variations
Le signe de la dérivée indique si la fonction monte ou descend : sur un intervalle, si $f' > 0$, la fonction est croissante ; si $f' < 0$, elle est décroissante.
Exemple
Si votre vitesse (dérivée de la position) est positive, vous avancez. Si elle est négative, vous reculez.
À retenir : Sur un intervalle $I$ : si $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$, $f$ est croissante sur $I$ ; si $f'(x) \leq 0$, elle est décroissante sur $I$ ; si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$, elle est constante sur $I$.
Extremums et condition f'(a) = 0
Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un réel de $I$. Si $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $a$, alors $f'(a) = 0$ : la tangente y est horizontale. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ et pourtant $f$ n'a pas d'extremum en $0$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet bien un extremum local en $a$.
Exemple
Au sommet d'une colline ou au fond d'une vallée, le sol est horizontal à l'endroit précis où l'on cesse de monter pour commencer à descendre (ou l'inverse).
À retenir : Si $f$ a un extremum en $a$, alors $f'(a) = 0$ (la réciproque est fausse : c'est le changement de signe de $f'$ en $a$ qui garantit l'extremum)
Les points clés
- La dérivée mesure la vitesse de changement instantanée d'une fonction
- Les formules de dérivation des fonctions de référence doivent être mémorisées
- Le signe de la dérivée détermine si la fonction augmente ou diminue
- En un extremum local situé à l'intérieur d'un intervalle ouvert, la dérivée s'annule (la réciproque est fausse)
- Les règles de dérivation (somme, produit, inverse, quotient) permettent de dériver les fonctions construites à partir des fonctions de référence
- Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, une courbe symétrique par rapport à l'origine
L'essentiel
La dérivée est l'outil pour étudier comment une fonction change : elle donne la pente de la tangente, le sens de variation, et localise les extremums.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Calculez $f'(x)$, puis trouvez les points où $f'(x) = 0$. Déterminez si ce sont des maximums ou des minimums en étudiant le signe de $f'(x)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Trouvez l'équation de la tangente à la courbe $g(x) = \frac{x}{x+1}$ au point d'abscisse $x = 1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →