Automatismes en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de automatismes pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Évolutions et variations
- Calcul numérique et algébrique
- Fonctions et représentations
- Statistiques
- Probabilités
- Automatismes de seconde à entretenir
Évolutions et variations
Une évolution mesure comment une quantité change entre deux moments. La variation peut être une augmentation ou une diminution, exprimée en valeur ou en pourcentage.
Exemple
Le prix d'un jeu vidéo passe de 60 € à 45 € : c'est une baisse de 15 €, soit une variation de −25 %. Évolutions successives : une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % revient à multiplier par $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, soit une baisse globale de 1 %. Taux réciproque : une baisse de 20 % (coefficient 0,8) est compensée par une hausse de 25 %, car $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$.
À retenir : Variation en pourcentage = $\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} \times 100$. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs ; l'évolution réciproque a pour coefficient l'inverse du coefficient de départ.
Calcul numérique et algébrique
En 1re, les automatismes de calcul algébrique sont : développer, factoriser et réduire une expression simple ; résoudre une équation produit nul ; déterminer le signe d'une expression du premier degré $ax + b$ et celui d'une expression du second degré factorisée, à l'aide d'un tableau de signes. Une équation produit nul s'écrit $A \times B = 0$ : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Exemple
Réduire : $3x + 2x - 5 = 5x - 5$. Développer : $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$. Équation produit nul : $(x - 3)(2x + 1) = 0$ équivaut à $x - 3 = 0$ ou $2x + 1 = 0$, donc $x = 3$ ou $x = -0{,}5$. Signe : $x - 3$ s'annule en 3 et est positif à droite de 3 (coefficient de $x$ égal à 1, positif) ; $2x + 1$ s'annule en $-0{,}5$ et est positif à droite de $-0{,}5$ (coefficient 2, positif). On applique la règle des signes dans chaque colonne : | $x$ | $]-\infty ; -0{,}5[$ | $-0{,}5$ | $]-0{,}5 ; 3[$ | $3$ | $]3 ; +\infty[$ | |---|---|---|---|---|---| | signe de $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | signe de $2x + 1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | signe de $(x - 3)(2x + 1)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | Donc $(x - 3)(2x + 1) < 0$ pour $x \in ]-0{,}5 ; 3[$ et $(x - 3)(2x + 1) > 0$ pour $x < -0{,}5$ ou $x > 3$.
À retenir : Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Avec $a \neq 0$, $ax + b$ s'annule en $x = -\frac{b}{a}$ ; il est du signe de $a$ à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche. Pour un produit, on dresse un tableau de signes et on applique la règle des signes colonne par colonne.
Fonctions et représentations
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition une unique image $f(x)$ ; sa courbe représentative est formée des points de coordonnées $(x ; f(x))$. Automatismes de 1re : résoudre graphiquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ ; lire sur la courbe le signe de $f$ (courbe au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses) et son tableau de variations ; tracer une droite à partir de son équation réduite $y = mx + p$, ou d'un point et de son coefficient directeur ; lire graphiquement l'équation réduite d'une droite ; calculer un coefficient directeur à partir de deux points.
Exemple
Coefficient directeur de la droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$ : $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$. Son équation réduite est $y = 3x + p$ ; comme A est sur la droite, $2 = 3 \times 1 + p$, donc $p = -1$ : $y = 3x - 1$ (vérification avec B : $3 \times 3 - 1 = 8$). Tracer cette droite : on place le point $(0 ; -1)$, puis on avance de 1 vers la droite et on monte de 3, ce qui donne le point $(1 ; 2)$. Lire une équation réduite : une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; 4)$ et qui descend de 2 quand on avance de 1 a pour équation réduite $y = -2x + 4$. Résolution graphique avec $f(x) = 3x - 1$ : résoudre $f(x) = 5$, c'est lire l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 5, soit $x = 2$ ; résoudre $f(x) < 5$, c'est lire les abscisses des points de la droite situés strictement sous la droite horizontale $y = 5$, soit $x < 2$.
À retenir : Coefficient directeur de la droite $(AB)$ (avec $x_A \neq x_B$) : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Sur la droite d'équation $y = mx + p$, quand $x$ augmente de 1, $y$ varie de $m$ ; $p$ est l'ordonnée du point d'abscisse 0. Résoudre graphiquement $f(x) = k$ : abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite $y = k$ ; $f(x) < k$ : abscisses des points de la courbe situés strictement sous cette droite.
Statistiques et données
La statistique résume et analyse des données : moyenne, médiane, écart-type permettent de comprendre une série de chiffres et de les comparer.
Exemple
Tes notes en anglais : 14, 16, 13, 18. La moyenne est 15,25 et la médiane (moyenne des deux valeurs du milieu, 14 et 16, une fois les notes rangées : 13, 14, 16, 18) est 15.
À retenir : Moyenne = $\frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$ ; c'est le repère le plus courant.
Probabilités et aléatoire
La probabilité mesure la chance qu'un événement se produise. Elle est comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain). La probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$, est la probabilité que B se réalise quand on sait que A est réalisé : on se restreint aux issues de A. Elle se lit dans un tableau croisé d'effectifs ou sur un arbre pondéré.
Exemple
En lançant un dé à 6 faces, la probabilité d'obtenir un 4 est $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$. Tableau croisé : on choisit au hasard un élève parmi 200. | | Filles | Garçons | Total | |---|---|---|---| | Sport en club | 50 | 30 | 80 | | Pas de club | 60 | 60 | 120 | | Total | 110 | 90 | 200 | On note S « l'élève fait du sport en club » et F « l'élève est une fille ». Alors $P(S \cap F) = \frac{50}{200} = 0{,}25$ ; $P_S(F) = \frac{50}{80} = 0{,}625$ (parmi les sportifs) ; $P_F(S) = \frac{50}{110} \approx 0{,}455$ (parmi les filles). Ce sont trois nombres différents.
À retenir : Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) : probabilité d'un événement = $\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas possibles}}$. Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; dans un tableau croisé, $P_A(B) = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$ ; sur un arbre pondéré, $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
Automatismes de seconde à entretenir
Ce sont les techniques de base acquises en seconde : résoudre une équation simple, factoriser, développer, utiliser les identités remarquables, manipuler les fractions.
Exemple
Développer $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ ; résoudre $2x - 5 = 0$ donne $x = 2{,}5$ ; factoriser $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
À retenir : Les identités remarquables $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ doivent être automatiques.
Les points clés
- Variation en pourcentage : $\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} \times 100$
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients ; une baisse de 20 % est compensée par une hausse de 25 % ($0{,}8 \times 1{,}25 = 1$)
- Priorités de calcul : parenthèses, puissances/racines, multiplication/division, addition/soustraction
- Équation produit nul : $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$ ; le signe d'un produit se lit dans un tableau de signes
- Une fonction $f$ associe à chaque $x$ une valeur unique $f(x)$
- Coefficient directeur de la droite $(AB)$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; la droite $y = mx + p$ coupe l'axe des ordonnées en $p$
- Moyenne = $\frac{\text{somme}}{\text{effectif}}$ ; médiane = valeur du milieu quand les données sont ordonnées
- En situation d'équiprobabilité, probabilité = $\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas totaux}}$
- Ne pas confondre $P(A \cap B)$, $P_A(B)$ (on se restreint à A) et $P_B(A)$ (on se restreint à B)
- Identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
L'essentiel
Les automatismes sont les techniques qu'on doit pouvoir appliquer sans réfléchir : ce sont les fondations pour tout le reste des maths.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un téléphone coûte 800 €. La semaine suivante, son prix baisse de 12 %. Combien coûte-t-il maintenant ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit la fonction $f(x) = -2x + 5$. Calcule $f(3)$, $f(-1)$ et trouve la valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →