Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée en 1ère
Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions de la variable réelle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée : le cours
Les racines de $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ sont les solutions de $f(x) = 0$ : par la règle du produit nul, ce sont $x_1$ et $x_2$. Si $x_1 < x_2$, $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (pour $x < x_1$ ou $x > x_2$) et du signe contraire de $a$ entre les racines (pour $x_1 < x < x_2$).
Exemple
Pour $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$ : les racines sont 1 et 5. Comme $a = 2 > 0$ : $f(x) > 0$ pour $x < 1$ ou $x > 5$, et $f(x) < 0$ pour $1 < x < 5$. Vérification : $f(3) = -8 < 0$.
À retenir
Signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
S'entraîner sur racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. 1) Vérifie que 1 est une racine de $f$. 2) Factorise $f(x)$. 3) Donne l'axe de symétrie et le sommet de la parabole représentant $f$. 4) Donne le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$. 1) Calcule $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$ et $g(4)$, puis trace l'allure de la courbe de $g$ à partir de ce tableau de valeurs (ou affiche-la à la calculatrice). 2) Résous graphiquement $g(x) = 0$, puis $g(x) > 0$. 3) Sachant que 1 est une racine de $g$, factorise $g(x)$ et vérifie tes réponses par le calcul.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions de la variable réelle (Mathématiques 1ère).
Autres notions de ce chapitre
- Représentations d'une fonction
- Taux de variation et pente d'une sécante
- Fonctions monotones et signe du taux de variation
- Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet
- Associer une parabole à une expression
- Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine
- Résolution graphique d'équations et d'inéquations