Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine en 1ère
Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions de la variable réelle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine : le cours
Si $x_1$ est une racine de $f(x) = ax^2 + bx + c$ (c'est-à-dire $f(x_1) = 0$), alors on peut écrire $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_2$ est l'autre racine (éventuellement égale à $x_1$). Pour trouver $x_2$, on développe $a(x - x_1)(x - x_2)$ et on identifie avec $ax^2 + bx + c$ ; en particulier, les termes constants donnent $a \times x_1 \times x_2 = c$.
Exemple
Soit $f(x) = x^2 - 5x + 6$. On a $f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$, donc 2 est une racine et $f(x) = (x - 2)(x - x_2)$. Les termes constants donnent $2 \times x_2 = 6$, donc $x_2 = 3$. Vérification : $(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
À retenir
Méthode : vérifier que $f(x_1) = 0$, écrire $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, trouver $x_2$ en comparant les termes constants, puis vérifier en développant.
S'entraîner sur factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. 1) Vérifie que 1 est une racine de $f$. 2) Factorise $f(x)$. 3) Donne l'axe de symétrie et le sommet de la parabole représentant $f$. 4) Donne le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$. 1) Calcule $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$ et $g(4)$, puis trace l'allure de la courbe de $g$ à partir de ce tableau de valeurs (ou affiche-la à la calculatrice). 2) Résous graphiquement $g(x) = 0$, puis $g(x) > 0$. 3) Sachant que 1 est une racine de $g$, factorise $g(x)$ et vérifie tes réponses par le calcul.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions de la variable réelle (Mathématiques 1ère).
Autres notions de ce chapitre
- Représentations d'une fonction
- Taux de variation et pente d'une sécante
- Fonctions monotones et signe du taux de variation
- Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet
- Associer une parabole à une expression
- Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée
- Résolution graphique d'équations et d'inéquations