Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet en 1ère
Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions de la variable réelle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet : le cours
La courbe d'une fonction polynôme de degré 2, $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, est une parabole. Si $a > 0$, elle est « tournée vers le haut » (en forme de U) ; si $a < 0$, elle est « tournée vers le bas » (en forme de U inversé). Elle admet un axe de symétrie vertical, et son sommet est le point de la parabole situé sur cet axe. Pour $f(x) = ax^2$ ou $f(x) = ax^2 + b$, l'axe est l'axe des ordonnées ($x = 0$) ; pour $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, l'axe est la droite d'équation $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
Exemple
Pour $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$ : $a = 2 > 0$, la parabole est tournée vers le haut. L'axe de symétrie est la droite $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$. Le sommet a pour abscisse 3 et pour ordonnée $f(3) = 2 \times 2 \times (-2) = -8$ : c'est le point $S(3 ; -8)$, où $f$ atteint son minimum.
À retenir
Signe de $a$ : orientation de la parabole. Sommet : sur l'axe de symétrie ; c'est un minimum si $a > 0$, un maximum si $a < 0$.
S'entraîner sur polynômes de degré 2 : allure, axe de symétrie, sommet
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. 1) Vérifie que 1 est une racine de $f$. 2) Factorise $f(x)$. 3) Donne l'axe de symétrie et le sommet de la parabole représentant $f$. 4) Donne le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$. 1) Calcule $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$, $g(3)$ et $g(4)$, puis trace l'allure de la courbe de $g$ à partir de ce tableau de valeurs (ou affiche-la à la calculatrice). 2) Résous graphiquement $g(x) = 0$, puis $g(x) > 0$. 3) Sachant que 1 est une racine de $g$, factorise $g(x)$ et vérifie tes réponses par le calcul.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions de la variable réelle (Mathématiques 1ère).
Autres notions de ce chapitre
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- Taux de variation et pente d'une sécante
- Fonctions monotones et signe du taux de variation
- Associer une parabole à une expression
- Racines et signe d'un polynôme de degré 2 sous forme factorisée
- Factoriser un polynôme de degré 2 connaissant une racine
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