Fonctions polynômes et dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions polynômes et dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonctions polynômes du second degré
- Nombre dérivé et tangente
- Variations d'une fonction et extrema
- Modélisation d'une situation professionnelle
- Résolution graphique d'équations
Fonctions polynômes du second degré
Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole qui s'ouvre vers le haut si $a > 0$ ou vers le bas si $a < 0$.
Exemple
La trajectoire d'un ballon de foot suit une parabole. Si on lance le ballon, sa hauteur en fonction de la distance horizontale suit une fonction du second degré.
À retenir : La parabole a toujours un sommet (point le plus haut ou le plus bas) ; son abscisse est la valeur de $x$ qui annule la dérivée $f'(x) = 2ax + b$, soit $x = -\frac{b}{2a}$.
Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé en un point mesure la pente (la vitesse de variation) de la courbe à ce point. La tangente est la droite qui touche la courbe en ce point et qui a pour pente le nombre dérivé.
Exemple
Sur une route de montagne, la pente à un endroit précis est comme le nombre dérivé : elle indique si la route monte ou descend rapidement.
À retenir : Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$, la fonction dérivée est $f'(x) = 2ax + b$ ; le nombre dérivé en $x_0$ est $f'(x_0)$, coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x_0$.
Variations d'une fonction et extrema
Étudier les variations d'une fonction, c'est savoir où elle augmente et où elle diminue. Les extrema sont les points où la fonction atteint sa valeur maximale ou minimale.
Exemple
Le chiffre d'affaires d'une boutique varie au cours de l'année : il augmente avant Noël et diminue après. Le maximum est atteint juste avant les fêtes.
À retenir : Sur un intervalle où la dérivée est positive, la fonction est croissante ; sur un intervalle où elle est négative, la fonction est décroissante.
Modélisation d'une situation professionnelle
Modéliser, c'est traduire une situation réelle en langage mathématique (équation, fonction) pour pouvoir l'analyser et prendre des décisions.
Exemple
Un artisan doit calculer le coût de production en fonction du nombre d'objets fabriqués. Il crée une fonction pour trouver le nombre optimal à produire.
À retenir : Pour modéliser, il faut identifier les variables, écrire la relation mathématique, puis résoudre le problème.
Résolution graphique d'équations
Résoudre graphiquement une équation, c'est trouver les points où deux courbes se croisent. Les coordonnées x de ces points sont les solutions.
Exemple
Pour savoir quand deux forfaits téléphoniques coûtent pareil, on trace les deux courbes de prix et on lit le point d'intersection.
À retenir : Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et $g$.
Les points clés
- Une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ a pour dérivée $f'(x) = 2ax + b$
- Le sommet de la parabole est en $x = -\frac{b}{2a}$ et c'est un extremum (maximum ou minimum)
- Quand $f'(x) = 0$, la tangente est horizontale : c'est un point critique où peut se trouver un extremum
- Pour modéliser une situation, on traduit le problème en fonction, puis on l'étudie avec la dérivée
- Graphiquement, résoudre $f(x) = k$ revient à trouver où la courbe croise la droite horizontale $y = k$
L'essentiel
La dérivée permet de trouver où une fonction augmente ou diminue, et donc de localiser ses extrema, ce qui est essentiel pour optimiser une situation professionnelle.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une entreprise fabrique des chaises. Le coût de production (en euros) pour $x$ chaises est donné par $C(x) = x^2 - 40x + 500$. Combien de chaises faut-il produire pour que le coût soit minimal ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Détermine le sommet de la parabole, puis résous $f(x) = 0$ (indice : $1$ est une solution évidente) et interprète graphiquement le résultat.
Corrige cet exercice avec le tuteur →