Fonction exponentielle en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction exponentielle pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Définition de la fonction exponentielle (unique f telle que f' = f et f(0) = 1)
- Propriétés algébriques : exp(a+b) = exp(a)·exp(b), nombre e, notation eˣ
- Signe, sens de variation et courbe de la fonction exponentielle
- Dérivée de t ↦ e^(at) ; croissance et décroissance exponentielles (e^(kt), e^(-kt))
- Lien avec les suites géométriques
Définition de la fonction exponentielle
On admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$. Elle est donc égale à sa propre dérivée : $\exp'(x) = \exp(x)$ pour tout réel $x$.
Exemple
On a $\exp(0) = 1$ et $\exp'(0) = \exp(0) = 1$. La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a donc pour équation $y = \exp'(0)(x - 0) + \exp(0)$, c'est-à-dire $y = x + 1$.
À retenir : $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$ : ces deux propriétés caractérisent la fonction exponentielle.
Propriétés algébriques, nombre e et notation e^x
Pour tous réels $a$ et $b$ : $\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b)$ (l'exponentielle transforme une somme en produit). On en déduit : $\exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)}$, $\exp(a - b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}$ et $\exp(na) = (\exp(a))^n$ pour tout entier $n$. On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ ; comme $\exp(n) = e^n$ pour tout entier $n$, on note $\exp(x) = e^x$ pour tout réel $x$.
Exemple
$e^{3} \times e^{-1} = e^{3 + (-1)} = e^{2}$ ; $\frac{e^{5}}{e^{2}} = e^{5 - 2} = e^{3}$ ; $(e^{2})^{3} = e^{6}$ ; $e^{-2} = \frac{1}{e^{2}}$.
À retenir : $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n = e^{na}$ ; $e = e^1 \approx 2{,}718$ et $e^0 = 1$.
Signe, sens de variation et courbe
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$ : la courbe de la fonction exponentielle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Comme $\exp' = \exp$ est strictement positive, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par les points $(0 ; 1)$ et $(1 ; e)$. On en déduit : $e^a = e^b$ si et seulement si $a = b$, et $e^a < e^b$ si et seulement si $a < b$.
Exemple
Quelques valeurs arrondies au millième : $e^{-2} \approx 0{,}135$ ; $e^{-1} \approx 0{,}368$ ; $e^{0} = 1$ ; $e^{1} \approx 2{,}718$ ; $e^{2} \approx 7{,}389$. Pour comparer $e^{0{,}5}$ et $e^{0{,}7}$ : $0{,}5 < 0{,}7$ et la fonction exponentielle est croissante, donc $e^{0{,}5} < e^{0{,}7}$.
À retenir : Pour tout réel $x$, $e^x > 0$ ; $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $e^a < e^b \iff a < b$ et $e^a = e^b \iff a = b$.
Dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles
Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto e^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $t \mapsto a\,e^{at}$. Comme $e^{at} > 0$, le signe de la dérivée est celui de $a$. Pour $k > 0$ : $t \mapsto e^{kt}$ est strictement croissante (croissance exponentielle) et $t \mapsto e^{-kt}$ est strictement décroissante (décroissance exponentielle).
Exemple
La quantité de médicament dans le sang (en mg) est modélisée par $Q(t) = 20e^{-0{,}5t}$, $t$ en heures. $Q'(t) = 20 \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = -10e^{-0{,}5t} < 0$ : la quantité diminue. $Q(0) = 20$ mg et $Q(2) = 20e^{-1} \approx 7{,}36$ mg.
À retenir : $(e^{at})' = a\,e^{at}$ ; si $k > 0$, $t \mapsto e^{kt}$ est croissante et $t \mapsto e^{-kt}$ est décroissante.
Lien avec les suites géométriques
Pour un réel $a$ fixé, la suite définie par $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$, car $u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^{a} = u_n \times e^a$. Ainsi, les valeurs de $t \mapsto e^{at}$ aux instants entiers $t = 0, 1, 2, \ldots$ forment une suite géométrique : la fonction exponentielle prolonge cette suite à tous les réels, y compris les instants non entiers.
Exemple
Pour $f(t) = e^{0{,}1t}$, les valeurs $f(0), f(1), f(2), \ldots$ forment une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $e^{0{,}1} \approx 1{,}105$ : la quantité augmente d'environ 10,5 % à chaque unité de temps.
À retenir : $u_n = e^{na}$ définit une suite géométrique de raison $e^a$ ; la fonction $t \mapsto e^{at}$ en est la version « continue ».
Les points clés
- $\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$
- $e^{a+b} = e^a \times e^b$ ; $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ ; $e = e^1 \approx 2{,}718$
- Pour tout réel $x$, $e^x > 0$
- $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : $e^a < e^b \iff a < b$
- $(e^{at})' = a\,e^{at}$
- Pour $k > 0$ : $e^{kt}$ modélise une croissance exponentielle, $e^{-kt}$ une décroissance exponentielle
- La suite $(e^{na})$ est géométrique de raison $e^a$
L'essentiel
La fonction exponentielle est la seule fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Elle transforme les sommes en produits, elle est strictement positive et strictement croissante, et elle prolonge les suites géométriques : c'est l'outil pour modéliser les croissances et décroissances exponentielles.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
1) Simplifie $A = \frac{e^{3x} \times e^{2}}{e^{x}}$. 2) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x - 1} = e^{4}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par $N(t) = 500e^{0{,}2t}$, où $t$ est le temps en heures. 1) Calcule $N'(t)$ et déduis-en le sens de variation de $N$. 2) Calcule $N(0)$ et une valeur approchée de $N(5)$. 3) Montre que les valeurs $N(0), N(1), N(2), \ldots$ forment une suite géométrique dont tu donneras la raison.
Corrige cet exercice avec le tuteur →