Fonction exponentielle en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonction exponentielle pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Définition de la fonction exponentielle (unique f telle que f' = f et f(0) = 1)
- Propriétés algébriques : exp(a+b) = exp(a)·exp(b)
- Signe, variations et limites de la fonction exponentielle
- Dérivée de x ↦ e^(u(x)) (composition)
- Équations et inéquations avec exponentielle
Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ qui vérifie deux conditions : sa dérivée est elle-même ($f' = f$) et elle vaut 1 en zéro ($f(0) = 1$). On la note $\exp(x)$ ou $e^x$.
Exemple
La croissance d'une population de bactéries : chaque bactérie se divise constamment, et la vitesse de croissance est proportionnelle au nombre de bactéries présentes. C'est exactement le comportement de la fonction exponentielle.
À retenir : L'exponentielle est la seule fonction égale à sa propre dérivée et qui passe par le point $(0, 1)$.
Propriétés algébriques de l'exponentielle
La fonction exponentielle transforme une addition en multiplication : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$. Cela signifie que l'exponentielle possède une structure multiplicative très particulière.
Exemple
Si vous placez 100 euros à la banque avec un intérêt composé, après 2 ans c'est comme si vous aviez placé l'argent 1 an, puis réinvesti le résultat 1 an de plus. Les intérêts se multiplient, d'où la propriété $e^{1+1} = e^1 \cdot e^1$.
À retenir : Retenir les trois formules : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, et $e^{na} = (e^a)^n$.
Signe, variations et limites
La fonction exponentielle est toujours positive (jamais zéro), elle est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$, et elle tend vers 0 quand $x \to -\infty$ et vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$.
Exemple
Un téléphone qui se décharge : au début il perd beaucoup de batterie (exponentielle décroissante), puis de moins en moins. À l'inverse, un virus qui se propage explose rapidement (exponentielle croissante).
À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x$, $e^x$ est croissante, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
Dérivée de la composition avec exponentielle
Si on a une fonction composée $e^{u(x)}$ où $u$ est une fonction quelconque, sa dérivée est $u'(x) \cdot e^{u(x)}$. On applique la règle de la chaîne.
Exemple
La température d'un café qui refroidit suit la loi $T(t) = 20 + 60 \cdot e^{-0,1t}$. Pour trouver la vitesse de refroidissement, on dérive : $T'(t) = 60 \cdot (-0,1) \cdot e^{-0,1t} = -6e^{-0,1t}$.
À retenir : La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ : on dérive l'exposant et on multiplie par l'exponentielle.
Équations et inéquations exponentielles
Pour résoudre une équation ou inéquation avec exponentielle, on utilise le fait que $e^x$ est strictement croissante : si $e^a = e^b$ alors $a = b$, et si $e^a < e^b$ alors $a < b$.
Exemple
Un investissement double tous les 10 ans. On cherche quand il aura triplé : $e^{0,069t} = 3$ devient $0,069t = \ln(3)$, donc $t \approx 16$ ans.
À retenir : Pour résoudre $e^{u(x)} = k$ ou $e^{u(x)} > k$, utiliser le logarithme ou comparer les exposants directement.
Les points clés
- La fonction exponentielle est sa propre dérivée et vaut 1 en zéro : c'est sa définition unique
- L'exponentielle transforme les additions en multiplications : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$
- Elle est toujours positive, strictement croissante, et tend vers 0 à gauche et $+\infty$ à droite
- Pour dériver $e^{u(x)}$, multiplier par la dérivée de l'exposant : $(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$
- Résoudre une équation exponentielle en utilisant la croissance stricte ou le logarithme
L'essentiel
La fonction exponentielle $e^x$ est l'unique fonction égale à sa dérivée avec $e^0 = 1$, elle transforme les additions en multiplications, et elle est toujours positive et croissante.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.