Automatismes en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de automatismes pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Proportions et pourcentages
- Évolutions et variations
- Calcul numérique et algébrique
- Fonctions et représentations
- Statistiques et probabilités
Proportions et pourcentages
Une proportion compare une partie à un tout, exprimée souvent en pourcentage. Le pourcentage indique combien de parties sur 100.
Exemple
Si tu as obtenu 17 points sur 20 à un contrôle, ta note en pourcentage est 85 %. En magasin, avec une réduction de 30 %, un article à 50 € te coûte $50 \times 0{,}7 = 35$ €.
À retenir : Pour calculer un pourcentage : $\frac{\text{partie}}{\text{tout}} \times 100$
Évolutions et variations
Une évolution mesure comment une quantité change entre deux moments. On parle de variation absolue (la différence) ou relative (en pourcentage).
Exemple
Le prix d'un jeu vidéo passe de 60 € à 45 €. La variation absolue est −15 €, et la variation relative est −25 %. Évolutions successives : une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % donnent un coefficient global $1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$, soit une baisse de 1 % (et non 0 %). Taux réciproque : une baisse de 20 % (coefficient 0,8) est compensée par une hausse de 25 %, car $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$.
À retenir : Variation relative = $\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}} \times 100$. Évolutions successives : on multiplie les coefficients multiplicateurs. Évolution réciproque : son coefficient est l'inverse du coefficient de départ.
Calcul numérique et algébrique
C'est l'ensemble des techniques pour calculer avec des nombres et des lettres. Automatismes de 1re : développer, factoriser et réduire une expression simple ; résoudre une équation produit nul ; déterminer le signe d'une expression du premier degré $ax + b$ et celui d'une expression du second degré factorisée, à l'aide d'un tableau de signes. Une équation produit nul s'écrit $A \times B = 0$ : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Exemple
Réduire : $3x + 2x - 5 = 5x - 5$. Développer : $(x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3$. Équation produit nul : $(x - 3)(2x + 1) = 0$ équivaut à $x - 3 = 0$ ou $2x + 1 = 0$, donc $x = 3$ ou $x = -0{,}5$. Signe : $x - 3$ s'annule en 3 et est positif à droite de 3 (coefficient de $x$ égal à 1, positif) ; $2x + 1$ s'annule en $-0{,}5$ et est positif à droite de $-0{,}5$ (coefficient 2, positif). On applique la règle des signes dans chaque colonne : | $x$ | $]-\infty ; -0{,}5[$ | $-0{,}5$ | $]-0{,}5 ; 3[$ | $3$ | $]3 ; +\infty[$ | |---|---|---|---|---|---| | signe de $x - 3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | signe de $2x + 1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | signe de $(x - 3)(2x + 1)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | Donc $(x - 3)(2x + 1) < 0$ pour $x \in ]-0{,}5 ; 3[$ et $(x - 3)(2x + 1) > 0$ pour $x < -0{,}5$ ou $x > 3$.
À retenir : Identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Avec $a \neq 0$, $ax + b$ s'annule en $x = -\frac{b}{a}$ ; il est du signe de $a$ à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche. Pour un produit, on dresse un tableau de signes et on applique la règle des signes colonne par colonne.
Fonctions et représentations graphiques
Une fonction est une relation qui associe à chaque entrée $x$ une unique sortie $f(x)$. On peut la visualiser avec un graphique. Automatismes de 1re : résoudre graphiquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ ; lire graphiquement le signe d'une fonction ou son tableau de variations ; tracer une droite à partir de son équation réduite, ou d'un point et de son coefficient directeur ; lire graphiquement l'équation réduite d'une droite ; calculer un coefficient directeur à partir de deux points.
Exemple
La distance parcourue en voiture dépend du temps : si tu roules à 90 km/h, après 1h tu as parcouru 90 km, après 2h c'est 180 km. On écrit $d(t) = 90t$. Coefficient directeur de la droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$ : $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$. Son équation réduite est $y = 3x + p$ ; comme A est sur la droite, $2 = 3 \times 1 + p$, donc $p = -1$ : $y = 3x - 1$ (vérification avec B : $3 \times 3 - 1 = 8$). Tracer cette droite : on place le point $(0 ; -1)$, puis on avance de 1 vers la droite et on monte de 3, ce qui donne le point $(1 ; 2)$. Lire une équation réduite : une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; 4)$ et qui descend de 2 quand on avance de 1 a pour équation réduite $y = -2x + 4$. Résolution graphique avec $f(x) = 3x - 1$ : résoudre $f(x) = 5$, c'est lire l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 5, soit $x = 2$ ; résoudre $f(x) < 5$, c'est lire les abscisses des points de la droite situés strictement sous la droite horizontale $y = 5$, soit $x < 2$.
À retenir : Lire un graphique : l'image de $x$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $x$ ; les antécédents de $y$ sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $y$. Coefficient directeur de la droite $(AB)$ (avec $x_A \neq x_B$) : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Sur la droite d'équation $y = mx + p$, quand $x$ augmente de 1, $y$ varie de $m$ ; $p$ est l'ordonnée du point d'abscisse 0. Résoudre graphiquement $f(x) = k$ : abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite $y = k$ ; $f(x) < k$ : abscisses des points de la courbe situés strictement sous cette droite.
Statistiques et probabilités
Les statistiques analysent des données (moyenne, médiane, écart-type). Les probabilités mesurent la chance qu'un événement se produise. La probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$, est la probabilité que B se réalise quand on sait que A est réalisé : on se restreint aux issues de A. Elle se lit dans un tableau croisé d'effectifs ou sur un arbre pondéré.
Exemple
En lançant un dé, la probabilité d'obtenir un 6 est $\frac{1}{6}$. La note moyenne de ta classe est la somme de toutes les notes divisée par le nombre d'élèves. Tableau croisé : on choisit au hasard un élève parmi 200. | | Filles | Garçons | Total | |---|---|---|---| | Sport en club | 50 | 30 | 80 | | Pas de club | 60 | 60 | 120 | | Total | 110 | 90 | 200 | On note S « l'élève fait du sport en club » et F « l'élève est une fille ». Alors $P(S \cap F) = \frac{50}{200} = 0{,}25$ ; $P_S(F) = \frac{50}{80} = 0{,}625$ (parmi les sportifs) ; $P_F(S) = \frac{50}{110} \approx 0{,}455$ (parmi les filles). Ce sont trois nombres différents.
À retenir : Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) : probabilité d'un événement = $\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$. Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; dans un tableau croisé, $P_A(B) = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$ ; sur un arbre pondéré, $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
Les points clés
- Une proportion se calcule : partie / tout, un pourcentage multiplie ce résultat par 100
- Une variation en pourcentage compare toujours à la valeur initiale, pas à la valeur finale
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients ; une baisse de 20 % est compensée par une hausse de 25 % ($0{,}8 \times 1{,}25 = 1$)
- Pour développer ou factoriser, utilise les identités remarquables et la distributivité
- Équation produit nul : $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$ ; le signe d'un produit se lit dans un tableau de signes
- Une fonction associe à chaque x un unique y ; graphiquement c'est une courbe ou une droite
- Coefficient directeur de la droite $(AB)$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; la droite $y = mx + p$ coupe l'axe des ordonnées en $p$
- La probabilité d'un événement est entre 0 et 1 ; la somme des probabilités de tous les cas vaut 1
- Ne pas confondre $P(A \cap B)$, $P_A(B)$ (on se restreint à A) et $P_B(A)$ (on se restreint à B)
L'essentiel
Les automatismes sont des calculs rapides et sans erreur : proportions, pourcentages, variations, développements et lecture de graphiques — c'est la base pour réussir tous les autres chapitres.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un téléphone coûte 800 €. Son prix baisse de 15 % après un mois, puis augmente de 10 % le mois suivant. Quel est son prix final ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Développe et simplifie : $(2x - 3)^2 - (x + 1)(x - 1)$
Corrige cet exercice avec le tuteur →