Probabilités conditionnelles en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités conditionnelles pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
- Indépendance de deux événements
- Partition de l'univers et formule des probabilités totales
- Succession de deux épreuves indépendantes (arbre ou tableau)
- Répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes
Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
Si $P(A) \neq 0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (notion introduite en seconde, parfois notée $P(B \mid A)$). Dans un arbre pondéré, les branches issues de la racine portent $P(A)$ et $P(\overline{A})$ ; les branches suivantes portent des probabilités conditionnelles comme $P_A(B)$. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes. On note $R$ : « la carte est rouge » et $K$ : « la carte est un roi ». Il y a $26$ cartes rouges, dont $2$ rois, donc $P_R(K) = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$.
À retenir : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ : on multiplie le long d'un chemin ; les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$.
Indépendance de deux événements
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Lorsque $P(A) \neq 0$, cela équivaut à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles.
Exemple
On lance un dé équilibré. $A$ : « le résultat est pair » et $B$ : « le résultat est inférieur ou égal à $2$ ». $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ et $A \cap B = \{2\}$, donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ : $A$ et $B$ sont indépendants.
À retenir : Indépendance : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Partition de l'univers et formule des probabilités totales
Des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $\Omega$ (exemple fréquent : $A$ et $\overline{A}$). Formule des probabilités totales : $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)$ ; si les $P(A_i)$ sont non nulles, $P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + \dots + P(A_n) \times P_{A_n}(B)$. Sur un arbre, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$.
Exemple
Une usine a trois ateliers qui produisent respectivement $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces, avec des taux de pièces défectueuses de $2\,\%$, $3\,\%$ et $5\,\%$. Pour une pièce prise au hasard : $P(D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}05 = 0{,}01 + 0{,}009 + 0{,}01 = 0{,}029$.
À retenir : Avec la partition $\{A, \overline{A}\}$ : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
Succession de deux épreuves indépendantes (arbre ou tableau)
Quand on enchaîne deux épreuves indépendantes (le résultat de la première n'a aucune influence sur la seconde), les issues sont des couples de résultats, et la probabilité d'un couple est le produit des probabilités de chacun des résultats. On représente la situation par un arbre, dont les branches de la deuxième épreuve portent les mêmes probabilités quel que soit le résultat de la première, ou par un tableau à double entrée.
Exemple
On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré : la probabilité d'obtenir pile puis $6$ est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$. Contre-exemple : tirer successivement deux boules sans remise dans une urne ne donne pas deux épreuves indépendantes, car la composition de l'urne change après le premier tirage.
À retenir : Pour deux épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités des résultats de chaque épreuve.
Répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès, de probabilité $p$, et échec, de probabilité $1 - p$. En répétant $n$ fois ($n \leq 4$) la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, on construit un arbre à $n$ niveaux. Un chemin comportant $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$ ; pour obtenir la probabilité de « exactement $k$ succès », on compte sur l'arbre les chemins concernés et on additionne leurs probabilités.
Exemple
On lance $3$ fois un dé équilibré ; succès : « obtenir $6$ », donc $p = \frac{1}{6}$. Exactement un $6$ : $3$ chemins (SEE, ESE, EES, où S désigne un succès et E un échec), d'où une probabilité $3 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$. Au moins un $6$ : $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$.
À retenir : Un chemin à $k$ succès sur $n$ épreuves a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$ ; « au moins un succès » se calcule avec l'événement contraire « aucun succès ».
Les points clés
- $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ si $P(A) \neq 0$.
- Arbre pondéré : produit le long d'un chemin, somme des chemins menant à un même événement, somme égale à $1$ pour les branches issues d'un même nœud.
- $A$ et $B$ indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, soit $P_A(B) = P(B)$ si $P(A) \neq 0$.
- Probabilités totales : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
- Épreuves successives indépendantes : on multiplie les probabilités.
- $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes : un chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$.
L'essentiel
Les probabilités conditionnelles se lisent sur un arbre pondéré ; la formule des probabilités totales additionne les chemins qui mènent à un événement, et l'indépendance (d'événements ou d'épreuves) permet de multiplier directement les probabilités.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. On note $R_1$ : « la première boule est rouge » et $R_2$ : « la deuxième boule est rouge ». 1. Construis l'arbre pondéré, puis calcule $P(R_1 \cap R_2)$. 2. Calcule $P(R_2)$ avec la formule des probabilités totales. 3. Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec une probabilité de $0{,}8$, les lancers étant indépendants. Elle tire $3$ lancers francs. 1. Calcule la probabilité qu'elle réussisse les $3$ lancers. 2. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse exactement $2$. 3. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse au moins $1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →