Probabilités conditionnelles en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités conditionnelles pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
- Indépendance de deux événements
- Formule des probabilités totales
- Loi des grands nombres (approche expérimentale)
Probabilité conditionnelle et notation
La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement B se produise sachant qu'un événement A s'est déjà réalisé. On la note $P(B|A)$ et elle se calcule avec la formule : $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Exemple
Tu tires une carte d'un jeu. Quelle est la probabilité que ce soit un roi sachant que tu as déjà tiré une carte rouge ? C'est une probabilité conditionnelle.
À retenir : $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : c'est le rapport entre la probabilité que les deux événements arrivent et la probabilité du premier.
Arbre pondéré et chemins
Un arbre pondéré est un diagramme qui représente toutes les situations possibles d'une expérience aléatoire. Chaque branche a une probabilité écrite dessus, et on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour trouver la probabilité finale.
Exemple
Pour un tirage de deux boules dans une urne, tu dessines un arbre : première branche pour la première boule, puis deux branches pour la deuxième. Les probabilités changent selon ce qu'on a tiré en premier.
À retenir : Pour trouver la probabilité d'un chemin complet, on multiplie toutes les probabilités des branches du chemin.
Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement : $P(B|A) = P(B)$ ou $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Exemple
Lancer un dé et lancer une pièce de monnaie sont indépendants : le résultat du dé n'affecte pas celui de la pièce. Mais tirer deux cartes sans remise ne sont pas indépendants : la première carte change les probabilités de la deuxième.
À retenir : A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Formule des probabilités totales
Si des événements $A_1, A_2, ..., A_n$ forment une partition (ils couvrent tous les cas possibles et ne se chevauchent pas), alors la probabilité d'un événement B est : $P(B) = P(B|A_1) \times P(A_1) + P(B|A_2) \times P(A_2) + ... + P(B|A_n) \times P(A_n)$.
Exemple
Une usine fabrique des pièces dans trois ateliers différents. Pour trouver la probabilité qu'une pièce soit défectueuse, on additionne : (probabilité défectueuse sachant atelier 1) fois (proportion atelier 1) + idem pour ateliers 2 et 3.
À retenir : On décompose un événement selon tous les cas possibles et on additionne les probabilités conditionnelles pondérées.
Variable aléatoire réelle
Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre réel. Par exemple, le gain au loto ou le nombre de fois qu'on obtient pile en 10 lancers.
Exemple
Tu joues à un jeu : si tu tires un as, tu gagnes 10 euros, sinon tu perds 2 euros. La variable aléatoire X représente ton gain : X peut valoir 10 ou -2.
À retenir : Une variable aléatoire transforme les résultats d'une expérience en nombres pour pouvoir les analyser.
Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance E(X) est la valeur moyenne que prend une variable aléatoire sur le long terme. Elle se calcule : $E(X) = x_1 \times P(X = x_1) + x_2 \times P(X = x_2) + ... + x_n \times P(X = x_n)$.
Exemple
Au jeu de dé, si tu gagnes 1 euro pour un 6 et tu perds 0,50 euro sinon, l'espérance est : $1 \times \frac{1}{6} + (-0,50) \times \frac{5}{6} = \frac{1}{6} - \frac{2,5}{6} \approx -0,25$ euro. En moyenne, tu perds 0,25 euro par partie.
À retenir : L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs possibles : c'est le gain ou la perte moyenne attendue.
Variance et écart-type
La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. L'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ est la racine carrée de la variance et s'exprime dans la même unité que X.
Exemple
Deux jeux ont la même espérance (0 euro) mais l'un te fait gagner ou perdre 1 euro, l'autre 100 euros. Le deuxième a une variance beaucoup plus grande : c'est plus risqué.
À retenir : La variance mesure le risque ou la variabilité ; l'écart-type est sa racine carrée et c'est l'indicateur principal de dispersion.
Loi des grands nombres
La loi des grands nombres affirme que si on répète une expérience aléatoire très souvent, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique. Plus on répète, plus on s'en rapproche.
Exemple
Si tu lances une pièce 10 fois, tu peux obtenir 7 piles et 3 faces. Mais si tu la lances 10 000 fois, tu obtiendras environ 5 000 piles et 5 000 faces, très proche de 50-50.
À retenir : Plus l'expérience est répétée, plus la fréquence observée converge vers la probabilité théorique.
Les points clés
- La probabilité conditionnelle $P(B|A)$ dépend de ce qui s'est passé avant : elle change selon l'information disponible.
- Un arbre pondéré visualise tous les chemins possibles ; on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne les chemins différents.
- Deux événements sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ ; sinon ils sont dépendants.
- La formule des probabilités totales décompose un événement selon tous les cas possibles qui le causent.
- L'espérance E(X) est la valeur moyenne attendue ; la variance mesure la dispersion autour de cette moyenne.
- L'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ quantifie le risque ou la variabilité d'une variable aléatoire.
- La loi des grands nombres garantit que les fréquences observées convergent vers les probabilités théoriques quand on répète l'expérience.
L'essentiel
Les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales permettent de modéliser des situations complexes où les événements s'influencent ; l'espérance et la variance caractérisent complètement une variable aléatoire.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire deux boules sans remise. Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges. Puis calcule la probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage sachant qu'on a tiré une boule rouge au premier.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un jeu consiste à lancer un dé. Si on obtient 1, 2 ou 3, on gagne 5 euros. Si on obtient 4 ou 5, on gagne 2 euros. Si on obtient 6, on perd 10 euros. Calcule l'espérance du gain et l'écart-type.
Corrige cet exercice avec le tuteur →