Probabilités et variables aléatoires en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités et variables aléatoires pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Variable aléatoire discrète
- Loi de probabilité et espérance
- Événements indépendants
- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Intervalle de fluctuation
Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Elle est discrète quand elle ne prend que des valeurs isolées (entières généralement).
Exemple
Quand tu lances un dé, le résultat est une variable aléatoire qui prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Ou le nombre de buts marqués par une équipe dans un match.
À retenir : Une variable aléatoire discrète X prend des valeurs isolées, pas continues.
Loi de probabilité et espérance
La loi de probabilité d'une variable aléatoire associe à chaque valeur possible sa probabilité. L'espérance est la moyenne pondérée de ces valeurs, elle représente le résultat moyen attendu.
Exemple
Pour un dé équilibré : chaque face a probabilité 1/6. L'espérance est $E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + ... + 6 \times \frac{1}{6} = 3,5$.
À retenir : L'espérance $E(X) = \sum x_i \times P(X = x_i)$ est le résultat moyen sur un grand nombre de répétitions.
Événements indépendants
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. La probabilité que les deux se produisent est le produit de leurs probabilités.
Exemple
Lancer une pièce deux fois : le résultat du premier lancer n'affecte pas le second. $P(\text{Pile puis Face}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
À retenir : Si A et B sont indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Un schéma de Bernoulli est la répétition d'une même expérience aléatoire avec deux résultats (succès ou échec) et probabilité constante. La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement k succès en n répétitions.
Exemple
Tu fais 10 lancers de pièce et tu comptes le nombre de Pile. C'est un schéma de Bernoulli avec n=10 et p=0,5. La probabilité d'obtenir exactement 7 Pile suit une loi binomiale.
À retenir : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où X suit une loi binomiale B(n, p).
Intervalle de fluctuation
L'intervalle de fluctuation indique la plage où se situe généralement la fréquence observée d'un événement sur un grand nombre de répétitions. Il permet de détecter si un résultat est normal ou suspect.
Exemple
Une pièce doit donner Pile dans 50% des cas. Sur 100 lancers, on s'attend à environ 50 Pile, mais pas exactement. L'intervalle de fluctuation à 95% indique la plage acceptable.
À retenir : L'intervalle de fluctuation à 95% est $\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}, p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ pour une fréquence observée.
Les points clés
- Une variable aléatoire discrète prend des valeurs isolées et chacune a une probabilité associée.
- L'espérance est la moyenne pondérée : elle prédit le résultat moyen sur beaucoup de répétitions.
- Deux événements indépendants : la probabilité du couple est le produit des probabilités individuelles.
- La loi binomiale compte les succès dans n répétitions identiques et indépendantes.
- L'intervalle de fluctuation permet de vérifier si une fréquence observée est normale ou anormale.
L'essentiel
Les probabilités permettent de modéliser l'aléatoire : une variable aléatoire a une loi de probabilité, une espérance, et sur beaucoup de répétitions, les résultats fluctuent dans un intervalle prévisible.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une chaîne de production fabrique des stylos. La probabilité qu'un stylo soit défectueux est de 0.02. On considère un lot de 50 stylos. Expliquer pourquoi la loi binomiale peut être utilisée pour modéliser le nombre de stylos défectueux dans ce lot. Calculer ensuite la probabilité qu'il y ait exactement 1 stylo défectueux dans le lot.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un jeu de société utilise un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On lance ce dé deux fois de suite. Soit X la variable aléatoire représentant la somme des deux numéros obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
Corrige cet exercice avec le tuteur →