Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités et variables aléatoires (1ère techno) pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Indépendance de deux événements
- Formule des probabilités totales (cas simples)
- Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : arbre (n ≤ 4)
- Variable aléatoire discrète : loi de probabilité, P(X = a), P(X ≤ a)
- Espérance d'une variable aléatoire discrète
- Loi de Bernoulli de paramètre p et son espérance
- Fluctuation d'échantillonnage : simuler des échantillons d'une loi de Bernoulli, distance à p de la fréquence observée
Indépendance de deux événements
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Si $P(A) \neq 0$, cela revient à dire que $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).
Exemple
On lance un dé équilibré. $A$ : « obtenir un nombre pair » $= \{2 ; 4 ; 6\}$ et $B$ : « obtenir 1 ou 2 » $= \{1 ; 2\}$. $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ et $A \cap B = \{2\}$, donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. Comme $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$, $A$ et $B$ sont indépendants.
À retenir : $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Formule des probabilités totales (cas simples)
Si $A$ et son contraire $\overline{A}$ partagent l'univers, alors pour tout événement $B$ : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. Sur un arbre pondéré, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$ (la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches).
Exemple
Dans une usine, 30 % des pièces viennent de la machine A et 70 % de la machine B. 5 % des pièces de A et 2 % des pièces de B sont défectueuses. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est $P(D) = 0{,}3 \times 0{,}05 + 0{,}7 \times 0{,}02 = 0{,}015 + 0{,}014 = 0{,}029$.
À retenir : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ : somme des probabilités des chemins qui mènent à $B$.
Répétition d'épreuves de Bernoulli : arbre
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès, de probabilité $p$, et échec, de probabilité $1 - p$. Quand on répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante ($n \leq 4$ ici), on représente la situation par un arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches, et la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Exemple
Un joueur réussit un tir au but avec la probabilité 0,7 et tire 3 fois, de façon indépendante. $P(\text{3 réussites}) = 0{,}7^3 = 0{,}343$. Pour exactement 2 réussites, il y a 3 chemins (RRE, RER, ERR), chacun de probabilité $0{,}7^2 \times 0{,}3 = 0{,}147$ : la probabilité vaut $3 \times 0{,}147 = 0{,}441$.
À retenir : Arbre de $n$ épreuves identiques et indépendantes : produit le long d'un chemin, somme des chemins favorables.
Variable aléatoire discrète et loi de probabilité
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité est le tableau des valeurs $x_i$ prises par $X$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$, avec $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$. $\{X = a\}$ est l'événement « $X$ prend la valeur $a$ » et $\{X \leq a\}$ l'événement « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ».
Exemple
On lance un dé équilibré. On gagne 6 € si on obtient 6, 3 € si on obtient 4 ou 5, et on perd 2 € sinon. Le gain $X$ prend les valeurs $-2$, 3 et 6 avec $P(X = -2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $P(X = 3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $P(X = 6) = \frac{1}{6}$ (somme : $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$). $P(X \leq 3) = P(X = -2) + P(X = 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.
À retenir : La somme des probabilités d'une loi vaut 1 ; $P(X \leq a)$ est la somme des $P(X = x_i)$ pour les valeurs $x_i \leq a$.
Espérance d'une variable aléatoire discrète
L'espérance de $X$ est $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$. C'est la valeur moyenne de $X$ que l'on peut attendre si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.
Exemple
Pour le jeu de dé précédent : $E(X) = (-2) \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{3} + 6 \times \frac{1}{6} = -1 + 1 + 1 = 1$. Sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 1 € par partie : le jeu lui est favorable.
À retenir : $E(X) = \sum x_i p_i$ ; si $X$ est un gain, $E(X) > 0$ : jeu favorable au joueur, $E(X) < 0$ : défavorable, $E(X) = 0$ : équitable.
Loi de Bernoulli de paramètre p
Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ lorsqu'elle prend la valeur 1 (succès) avec la probabilité $p$ et la valeur 0 (échec) avec la probabilité $1 - p$. Son espérance est $E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p$.
Exemple
On lance un dé équilibré et on appelle succès « obtenir 6 ». La variable $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{6}$, et $E(X) = \frac{1}{6}$.
À retenir : Loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $P(X = 1) = p$, $P(X = 0) = 1 - p$, $E(X) = p$.
Fluctuation d'échantillonnage
Un échantillon de taille $n$ est obtenu en répétant $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. La fréquence $f$ des succès varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. On la simule avec un tableur (=ALEA()<p) ou en Python (random() < p vaut True avec la probabilité $p$), puis on observe la distance $|f - p|$ entre la fréquence observée et $p$ : plus $n$ est grand, plus cette distance est en général petite.
Exemple
Une simulation Python d'un échantillon de taille $n$ : ```python from random import random def frequence(n, p): succes = 0 for i in range(n): if random() < p: succes = succes + 1 return succes / n ``` Avec $p = 0{,}5$ et $n = 100$, un échantillon peut donner $f = 0{,}46$ (distance à $p$ : 0,04) et un autre $f = 0{,}53$ (distance : 0,03). Avec $n = 10\,000$, les distances observées sont en général beaucoup plus petites.
À retenir : La fréquence observée fluctue autour de $p$ ; cette fluctuation est normale et, en général, d'autant plus faible que l'échantillon est grand (sans certitude pour un échantillon particulier).
Les points clés
- $A$ et $B$ indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
- Probabilités totales : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$
- Arbre d'épreuves de Bernoulli indépendantes : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins favorables
- Loi d'une variable aléatoire : valeurs $x_i$ et probabilités $p_i$ de somme 1
- Espérance : $E(X) = \sum x_i p_i$
- Loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$
- La fréquence observée sur un échantillon fluctue autour de $p$ ; la distance $|f - p|$ est en général plus petite pour un grand échantillon
L'essentiel
Un arbre pondéré permet de calculer des probabilités (produit le long d'un chemin, somme des chemins), d'appliquer la formule des probabilités totales et de traiter la répétition d'épreuves de Bernoulli. Une variable aléatoire se décrit par sa loi et se résume par son espérance ; une simulation montre que la fréquence observée fluctue autour de la probabilité.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un QCM comporte 3 questions indépendantes. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question. 1) Construis l'arbre de la situation (J : réponse juste, F : réponse fausse). 2) Calcule la probabilité que l'élève ait les 3 réponses justes, puis exactement une réponse juste. 3) Soit $X$ le nombre de réponses justes. Donne la loi de $X$ et calcule $E(X)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un lycée, 40 % des élèves prennent le bus (événement $B$). Parmi les élèves qui prennent le bus, 25 % arrivent en retard au moins une fois par mois (événement $R$) ; parmi les autres élèves, 10 % arrivent en retard au moins une fois par mois. On choisit un élève au hasard. 1) Construis un arbre pondéré et calcule $P(R)$. 2) Les événements $B$ et $R$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →