Géométrie dans l'espace et trigonométrie en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie dans l'espace et trigonométrie pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Solides usuels
- Représenter et exploiter un solide ou un assemblage de solides
- Section d'un solide usuel par un plan
- Cercle trigonométrique : enroulement de la droite des réels
- Le radian ; conversions degrés ↔ radians
- Cosinus et sinus d'un nombre réel ; valeurs particulières
- Encadrements et relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
- Courbes des fonctions sinus et cosinus ; périodicité
Ce que tu vas réviser
- Solides usuels : cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône, boule
- Représenter et exploiter un solide ou un assemblage de solides (logiciel de géométrie ou logiciel métier)
- Section d'un solide usuel par un plan (outil numérique)
- Cercle trigonométrique : enroulement de la droite des réels (groupements A et B)
- Radian ; conversions degrés ↔ radians
- Cosinus et sinus d'un nombre réel ; valeurs particulières 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π
- −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1, cos²x + sin²x = 1
- Courbes des fonctions sinus et cosinus ; périodicité
Solides usuels
Les solides usuels sont le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône et la boule. Le cube, le pavé droit et la pyramide ont des faces planes (polygones), des arêtes et des sommets. Le cylindre a deux bases qui sont des disques identiques et parallèles, le cône une base qui est un disque et un sommet, la boule est formée des points situés à une distance inférieure ou égale au rayon de son centre (sa surface est la sphère).
Exemple
Une boîte de céréales a la forme d'un pavé droit, un dé celle d'un cube, une canette celle d'un cylindre, un cône de chantier à peu près celle d'un cône, une balle celle d'une boule, le toit de certaines tours celle d'une pyramide à base carrée. Un pavé droit a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets ; une pyramide à base carrée a 5 faces, 8 arêtes et 5 sommets.
À retenir : Six solides usuels : cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône, boule.
Représenter et exploiter un solide ou un assemblage de solides
Un logiciel de géométrie dans l'espace (ou un logiciel métier de dessin technique) permet de construire un solide ou un assemblage de solides, de le faire tourner pour le voir sous plusieurs angles et de lire ses dimensions. Exploiter la représentation, c'est y reconnaître les solides usuels qui composent l'objet, identifier des figures planes (faces, triangles rectangles…) et calculer des longueurs, des aires ou des volumes à partir des dimensions lues. Rappels : volume du pavé droit $V = L \times \ell \times h$ ; du cylindre $V = \pi r^2 h$ ; de la pyramide et du cône $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ ($\mathcal{B}$ : aire de la base) ; de la boule $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Exemple
Un plot de signalisation modélisé dans un logiciel est un assemblage d'un cylindre (le socle) et d'un cône. En faisant tourner la figure, on lit le rayon et les hauteurs de chaque partie, puis on calcule le volume total en additionnant le volume du cylindre et celui du cône.
À retenir : Décomposer l'objet en solides usuels, lire les dimensions, puis calculer.
Section d'un solide usuel par un plan
La section d'un solide par un plan est la figure plane obtenue en coupant le solide par ce plan. Un outil numérique (logiciel de géométrie dans l'espace) permet de faire varier le plan et de visualiser la section. Sections à connaître : un pavé droit ou un cube coupé par un plan parallèle à une face donne un rectangle de mêmes dimensions que cette face ; un cylindre coupé par un plan parallèle à ses bases donne un disque de même rayon, et coupé par un plan parallèle à son axe, un rectangle ; une pyramide ou un cône coupé par un plan parallèle à la base donne une réduction de la base ; une boule coupée par un plan donne toujours un disque.
Exemple
Un rondin de bois cylindrique de rayon 10 cm et de longueur 2 m, scié perpendiculairement à son axe, donne un disque de rayon 10 cm ; scié dans sa longueur en passant par l'axe, il donne un rectangle de 20 cm sur 2 m.
À retenir : Section d'une boule : un disque. Section d'une pyramide ou d'un cône parallèle à la base : une réduction de la base.
Cercle trigonométrique : enroulement de la droite des réels
Dans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct). On place la droite des réels verticalement, tangente au cercle au point $I(1 ; 0)$, avec le 0 en I, puis on l'enroule autour du cercle : à chaque réel $x$ correspond un point $M$ du cercle, appelé image de $x$. Comme la longueur du cercle est $2\pi$, les réels $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image.
Exemple
Le réel $\frac{\pi}{2}$ a pour image le point $J(0 ; 1)$ (un quart de tour), le réel $\pi$ le point $(-1 ; 0)$ (un demi-tour), le réel $-\frac{\pi}{2}$ le point $(0 ; -1)$. Les réels $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$ ont la même image.
À retenir : Chaque réel $x$ a une image $M$ sur le cercle trigonométrique ; $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image.
Le radian ; conversions degrés ↔ radians
Le radian est une unité de mesure d'angle : un angle de 1 radian intercepte, sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1. Un tour complet mesure $2\pi$ radians, c'est-à-dire 360°, donc $\pi \text{ rad} = 180°$. Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.
Exemple
$90° = \frac{\pi}{2}$ rad ; $60° = \frac{\pi}{3}$ rad ; $45° = \frac{\pi}{4}$ rad ; $30° = \frac{\pi}{6}$ rad. Inversement, $\frac{3\pi}{4}$ rad $= \frac{3 \times 180°}{4} = 135°$ ; 1 rad $= \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}3°$.
À retenir : Degrés → radians : multiplier par $\frac{\pi}{180}$. Radians → degrés : multiplier par $\frac{180}{\pi}$.
Cosinus et sinus d'un nombre réel ; valeurs particulières
Si $M$ est l'image du réel $x$ sur le cercle trigonométrique, le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M$ et le sinus de $x$ est son ordonnée : $M(\cos x ; \sin x)$. Pour $x$ entre 0 et $\frac{\pi}{2}$, on retrouve le cosinus et le sinus de l'angle aigu vus au collège dans le triangle rectangle.
Exemple
Valeurs particulières : | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | |---|---|---|---|---|---|---| | $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | | $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
À retenir : $\cos x$ = abscisse du point image, $\sin x$ = ordonnée ; connaître le tableau des valeurs particulières.
Encadrements et relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
Le point $M(\cos x ; \sin x)$ est sur le cercle de centre O et de rayon 1 : ses coordonnées sont donc comprises entre $-1$ et 1, et, d'après le théorème de Pythagore, $OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$. On note $\cos^2 x$ pour $(\cos x)^2$.
Exemple
Pour $x = \frac{\pi}{6}$ : $\cos^2 x + \sin^2 x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. Si $\cos x = 0{,}8$ et $\sin x \geq 0$, alors $\sin^2 x = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$ et $\sin x = 0{,}6$.
À retenir : $-1 \leq \cos x \leq 1$ ; $-1 \leq \sin x \leq 1$ ; $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pour tout réel $x$.
Courbes des fonctions sinus et cosinus ; périodicité
Les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont définies pour tout réel $x$. Comme $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image sur le cercle, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ et $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ : ces fonctions sont périodiques de période $2\pi$, et leur courbe se répète tous les $2\pi$. Les courbes, appelées sinusoïdes, restent entre les droites d'équations $y = -1$ et $y = 1$.
Exemple
Sur $[0 ; 2\pi]$, la courbe du sinus part de $(0 ; 0)$, monte jusqu'au maximum 1 en $\frac{\pi}{2}$, redescend à 0 en $\pi$, atteint le minimum $-1$ en $\frac{3\pi}{2}$ et revient à 0 en $2\pi$. La courbe du cosinus part de $(0 ; 1)$, vaut 0 en $\frac{\pi}{2}$, $-1$ en $\pi$, 0 en $\frac{3\pi}{2}$ et 1 en $2\pi$. Ces courbes modélisent des phénomènes périodiques, comme la tension électrique alternative.
À retenir : sin et cos sont périodiques de période $2\pi$ ; leurs courbes oscillent entre $-1$ et 1.
Les points clés
- Solides usuels : cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône, boule
- Un logiciel permet de représenter un solide ou un assemblage, de le décomposer et d'y lire des dimensions pour calculer
- Section d'une boule : un disque ; section d'une pyramide ou d'un cône parallèle à la base : une réduction de la base
- Sur le cercle trigonométrique, chaque réel $x$ a une image $M(\cos x ; \sin x)$ ; $x$ et $x + 2\pi$ ont la même image
- $\pi$ rad $= 180°$
- $-1 \leq \cos x \leq 1$, $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$
L'essentiel
En géométrie dans l'espace, on reconnaît, représente et coupe les solides usuels ; en trigonométrie, l'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique définit le cosinus et le sinus de tout nombre réel, mesuré en radians, et les fonctions sinus et cosinus, périodiques de période $2\pi$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
a) Convertir 45° et 120° en radians, puis $\frac{5\pi}{6}$ rad en degrés. b) Donner les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{4}$ et de $\sin\frac{\pi}{6}$. c) On sait que $\sin x = 0{,}6$ et que $x$ est compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$. Calculer $\cos x$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un plot de chantier est formé d'un cylindre de rayon 10 cm et de hauteur 30 cm, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 15 cm. a) Quelle section obtient-on en coupant le cylindre par un plan parallèle à sa base ? par un plan contenant son axe ? b) Calculer le volume du plot en $\text{cm}^3$, arrondi à l'unité, puis en litres (arrondi au dixième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →