Géométrie dans l'espace et trigonométrie en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de géométrie dans l'espace et trigonométrie pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Solides usuels : cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône, boule
- Représenter et exploiter un solide ou un assemblage de solides (logiciel de géométrie ou logiciel métier)
- Section d'un solide usuel par un plan (outil numérique)
- Cercle trigonométrique : enroulement de la droite des réels (groupements A et B)
- Radian ; conversions degrés ↔ radians
- Cosinus et sinus d'un nombre réel ; valeurs particulières 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π
- −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1, cos²x + sin²x = 1
- Courbes des fonctions sinus et cosinus ; périodicité
Solides usuels : prismes, cylindres, cônes, sphères
Les solides usuels sont le cube, le pavé droit et plus généralement le prisme droit, la pyramide, le cylindre, le cône et la boule (dont la surface est la sphère). Les solides à faces planes (cube, pavé, prisme, pyramide) ont des faces, des arêtes et des sommets ; le cylindre, le cône et la boule ont des surfaces courbes.
Exemple
Une canette de soda a la forme d'un cylindre, un cône de signalisation a à peu près la forme d'un cône, une balle de tennis celle d'une boule, et une boîte de céréales celle d'un pavé droit (un prisme droit particulier).
À retenir : Un prisme droit a deux bases polygonales identiques et parallèles, un cylindre deux bases qui sont des disques, une pyramide une base polygonale et un sommet, un cône une base qui est un disque et un sommet ; la boule n'a pas de base.
Calculs de volumes
Le volume mesure l'espace qu'occupe un solide en 3D. On l'exprime en unités cubiques (m³, cm³, etc.). Chaque solide a sa propre formule pour calculer son volume.
Exemple
Pour remplir une cuve cylindrique ou calculer la quantité de béton d'un plot conique sur un chantier, on utilise les formules de volume ($B$ désigne l'aire de la base et $h$ la hauteur).
À retenir : Prisme droit et cylindre : $V = B \times h$ (cylindre : $V = \pi r^2 h$) | Pyramide et cône : $V = \frac{1}{3} B \times h$ (cône : $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$) | Boule : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Calculs d'aires latérales
L'aire latérale est la surface des côtés d'un solide, sans compter les bases. C'est utile pour savoir combien de peinture ou de matériau il faut pour couvrir un objet.
Exemple
Peindre les murs d'une tour cylindrique, ou calculer la tôle nécessaire pour fabriquer un tuyau d'usine.
À retenir : Cylindre : $A = 2\pi r h$ | Cône : $A = \pi r \ell$ (où $\ell$ est la longueur d'une génératrice) | Prisme droit : $A = P \times h$ ($P$ = périmètre de la base)
Sections planes de solides
Une section plane est la figure obtenue quand on coupe un solide par un plan. En 1re professionnelle, on la réalise souvent à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
Exemple
Un cylindre coupé par un plan parallèle à sa base donne un disque de même rayon ; coupé par un plan parallèle à son axe, il donne un rectangle. Un pavé droit coupé par un plan parallèle à une face donne un rectangle identique à cette face.
À retenir : Section d'une boule par un plan : toujours un disque. Section d'un cône ou d'une pyramide par un plan parallèle à la base : une réduction de la base.
Trigonométrie : sinus, cosinus, tangente
Dans un triangle rectangle (rappel du collège), sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu relient cet angle aux longueurs des côtés. En 1re professionnelle (groupements A et B), on définit le cosinus et le sinus d'un nombre réel $x$ grâce au cercle trigonométrique (cercle de centre $O$ et de rayon 1) : le point $M$ associé à $x$ a pour coordonnées $(\cos x ; \sin x)$. Les angles se mesurent aussi en radians : $180° = \pi$ rad.
Exemple
$60° = \frac{\pi}{3}$ rad, et sur le cercle trigonométrique $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Un charpentier utilise ces relations pour calculer la longueur des chevrons d'un toit connaissant sa pente.
À retenir : Triangle rectangle : $\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ | $\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ | $\tan(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$. Pour tout réel $x$ : $-1 \leq \cos x \leq 1$, $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
Applications aux métiers du bâtiment et de l'industrie
Les calculs de volumes, d'aires et la trigonométrie sont essentiels dans les métiers du bâtiment et de l'industrie pour dimensionner les structures, calculer les matériaux et les angles de construction.
Exemple
Un maçon calcule le volume de béton d'une fondation cylindrique, un couvreur utilise la trigonométrie pour déterminer la pente d'une toiture, un chaudronnier calcule l'aire de tôle d'une trémie conique.
À retenir : Sur un chantier, la géométrie et la trigonométrie permettent de calculer précisément les matériaux et les dimensions avant de construire.
Les points clés
- Connaître les formules de volume et d'aire latérale des solides usuels
- La trigonométrie relie angles et longueurs dans le triangle rectangle ; le cercle trigonométrique définit $\cos x$ et $\sin x$ pour tout réel $x$
- Savoir reconnaître la section plane d'un solide usuel
- Appliquer ces notions à des situations concrètes du bâtiment et de l'industrie
L'essentiel
La géométrie dans l'espace et la trigonométrie sont les outils mathématiques indispensables pour calculer, construire et dimensionner dans les métiers techniques.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un réservoir cylindrique d'eau a un rayon de 2 m et une hauteur de 5 m. Calcule son volume et l'aire latérale à peindre.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de 60° avec le sol horizontal. 1. Convertir 60° en radians. 2. Donner les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$. 3. En déduire la hauteur atteinte sur le mur et la distance entre le pied de l'échelle et le mur.
Corrige cet exercice avec le tuteur →