Fonctions et dérivation en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de fonctions et dérivation pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Fonctions polynômes et leurs propriétés
- Fonction exponentielle et croissance
- Calcul des dérivées et règles de dérivation
- Tangente à une courbe et équation
- Extremums et points critiques
- Suites arithmétiques et progression linéaire
- Suites géométriques et croissance exponentielle
- Trigonométrie et cercle trigonométrique
- Fonctions sinus et cosinus
Ce que tu vas réviser
- Fonctions de référence (polynômes, exponentielle)
- Dérivation et applications (tangente, extremums)
- Suites arithmétiques et géométriques
- Trigonométrie et fonctions circulaires
Fonctions polynômes et leurs propriétés
Une fonction polynôme est une fonction construite en additionnant des puissances de x multipliées par des nombres. Par exemple, $f(x) = 2x^2 + 3x + 1$ est un polynôme de degré 2.
Exemple
La trajectoire d'un ballon de foot suit une fonction polynôme : sa hauteur dépend du temps selon $h(t) = -5t^2 + 20t$, où le terme $-5t^2$ représente la gravité.
À retenir : Le degré d'un polynôme est la plus grande puissance de x, et il détermine la forme générale de la courbe.
Fonction exponentielle et croissance
La fonction exponentielle $f(x) = e^x$ est une fonction qui croît très rapidement. Elle est définie pour tous les nombres réels et sa valeur est toujours positive.
Exemple
La propagation d'un virus ou d'une rumeur sur les réseaux sociaux suit une croissance exponentielle : chaque personne infectée en contamine plusieurs autres, créant une explosion du nombre de cas.
À retenir : La fonction exponentielle $e^x$ croît plus vite que n'importe quel polynôme, et sa dérivée est elle-même : $(e^x)' = e^x$.
Notion de dérivée et taux de variation
La dérivée d'une fonction mesure sa vitesse de changement à un point donné. C'est la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Exemple
Si tu conduis une voiture, ta vitesse instantanée à un moment précis est la dérivée de ta position par rapport au temps. Un compteur de vitesse affiche cette dérivée.
À retenir : La dérivée $f'(x)$ représente le taux de variation instantané de la fonction $f(x)$ au point x.
Calcul des dérivées et règles de dérivation
Pour calculer une dérivée, on utilise des règles : la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$, la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et il existe des règles pour les produits et quotients.
Exemple
Pour $f(x) = 3x^2 + 2x$, on applique les règles : $f'(x) = 6x + 2$. Cette nouvelle fonction donne la pente de la courbe à chaque point.
À retenir : Apprendre par coeur : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, et la dérivée d'une constante est 0.
Tangente à une courbe et équation
La tangente à une courbe en un point est la droite qui touche la courbe en ce point et qui a la même pente que la courbe. Son équation est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ au point d'abscisse a.
Exemple
Si tu touches une balle de tennis en roulant, ta main suit la tangente à la surface de la balle à ce moment précis. La tangente à une courbe fonctionne de la même manière.
À retenir : L'équation de la tangente au point $(a, f(a))$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Extremums et points critiques
Un extremum est un point où la fonction atteint une valeur maximale ou minimale locale. Ces points se trouvent où la dérivée s'annule, c'est-à-dire où $f'(x) = 0$.
Exemple
Un skieur au sommet d'une montagne est à un maximum : avant le sommet, il monte (dérivée positive), au sommet la pente est nulle, après il descend (dérivée négative).
À retenir : Pour trouver les extremums, résous $f'(x) = 0$ et vérifie le signe de la dérivée avant et après.
Suites arithmétiques et progression linéaire
Une suite arithmétique est une liste de nombres où chaque terme s'obtient en ajoutant toujours le même nombre (appelé raison r) au terme précédent. Le terme général est $u_n = u_1 + (n-1)r$.
Exemple
Un abonnement téléphonique qui coûte 10 euros par mois : 10, 20, 30, 40... C'est une suite arithmétique de raison 10.
À retenir : Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante et égale à la raison r.
Suites géométriques et croissance exponentielle
Une suite géométrique est une liste de nombres où chaque terme s'obtient en multipliant toujours par le même nombre (appelé raison q) le terme précédent. Le terme général est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Exemple
Un capital de 1000 euros placé à 5% d'intérêts par an : 1000, 1050, 1102.5... C'est une suite géométrique de raison 1.05.
À retenir : Dans une suite géométrique, le quotient entre deux termes consécutifs est constant et égal à la raison q.
Trigonométrie et cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Les angles sont mesurés en radians, et on peut lire les valeurs de sinus et cosinus directement sur ce cercle.
Exemple
Quand tu fais tourner une roue de vélo, chaque point de la roue trace un cercle. Les coordonnées de ce point à chaque instant sont données par le cosinus et le sinus de l'angle de rotation.
À retenir : Sur le cercle trigonométrique, pour un angle x en radians : $\cos(x)$ est l'abscisse et $\sin(x)$ est l'ordonnée du point.
Fonctions sinus et cosinus
Les fonctions $f(x) = \sin(x)$ et $f(x) = \cos(x)$ sont des fonctions périodiques qui oscillent entre -1 et 1. Elles se répètent tous les $2\pi$ radians.
Exemple
Les vagues de l'océan montent et descendent régulièrement : la hauteur de l'eau suit une fonction sinusoïdale. Les sons musicaux aussi suivent des courbes sinusoïdales.
À retenir : Les dérivées sont : $(\sin(x))' = \cos(x)$ et $(\cos(x))' = -\sin(x)$.
Les points clés
- La dérivée mesure la vitesse de changement d'une fonction et correspond à la pente de la tangente
- Les extremums se trouvent où la dérivée s'annule : résous f'(x) = 0
- Les suites arithmétiques ont une différence constante, les suites géométriques ont un quotient constant
- La fonction exponentielle e^x croît plus vite que tout polynôme et sa dérivée est elle-même
- Le cercle trigonométrique permet de lire les valeurs de sinus et cosinus pour n'importe quel angle
L'essentiel
La dérivée est l'outil central du chapitre : elle mesure comment une fonction change, permet de trouver les extremums, et s'applique à tous les types de fonctions (polynômes, exponentielles, trigonométriques).
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Calcule $f'(x)$, puis trouve les points où la dérivée s'annule. Détermine si ce sont des maximums ou des minimums.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une suite géométrique a pour premier terme $u_1 = 5$ et pour raison $q = 2$. Calcule $u_5$ et la somme $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →