Mathématiques appliquées à l'ingénierie en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de mathématiques appliquées à l'ingénierie pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Vecteurs et géométrie dans le plan
- Trigonométrie : fonctions sinus, cosinus et applications
- Nombres complexes : introduction et forme algébrique
- Résolution de systèmes linéaires 2x2
- Applications aux problèmes de physique et d'ingénierie
Vecteurs et géométrie dans le plan
Un vecteur représente un déplacement ou une grandeur orientée (force, vitesse). Il est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). En Première PCM, on l'utilise surtout avec le produit scalaire, qui permet de calculer des angles, des longueurs et le travail d'une force.
Exemple
Quand tu navigues avec GPS, l'application te donne des vecteurs de direction : 'avance 500 m vers le nord-est'. Ce déplacement est un vecteur : sa norme vaut 500 m, sa direction et son sens sont donnés par « vers le nord-est ».
À retenir : Dans un repère orthonormé, $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)$ et pour norme $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$, ou $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ en coordonnées ; $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
Trigonométrie : sinus, cosinus et applications
Sur le cercle trigonométrique (cercle de rayon 1), à tout angle $x$ mesuré en radians on associe un point dont l'abscisse est $\cos(x)$ et l'ordonnée $\sin(x)$. On définit ainsi les fonctions sinus et cosinus, périodiques de période $2\pi$. Dans un triangle rectangle, elles relient aussi les angles aux longueurs des côtés.
Exemple
Un pompier doit évaluer la hauteur d'un immeuble en feu. Il se place à 30 m de la base et mesure un angle d'élévation de 60°. Avec $\tan(60°) = \dfrac{h}{30}$, il trouve $h = 30\sqrt{3} \approx 52$ m (en négligeant la hauteur de ses yeux).
À retenir : $\pi$ rad $= 180°$. Pour tout réel $x$ : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$. En physique, un signal sinusoïdal s'écrit $A\cos(\omega t + \varphi)$ : amplitude $A$, pulsation $\omega$, phase à l'origine $\varphi$. Dans un triangle rectangle : $\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$.
Nombres complexes : introduction et forme algébrique
Un nombre complexe est un nombre de la forme $z = a + bi$ où $a$ et $b$ sont des réels et $i$ est l'unité imaginaire telle que $i^2 = -1$. Il combine une partie réelle et une partie imaginaire.
Exemple
En électronique, les ingénieurs utilisent les nombres complexes pour analyser les circuits alternatifs. Une impédance peut s'écrire $Z = 50 + 30i$ (en ohms), où 50 est la résistance et 30 la réactance ; en électricité, on note souvent $j$ au lieu de $i$ pour ne pas confondre avec l'intensité.
À retenir : Un nombre complexe $z = a + bi$ a pour module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ et pour conjugué $\bar{z} = a - bi$
Résolution de systèmes linéaires 2x2
Un système linéaire 2x2 est un ensemble de deux équations à deux inconnues. On le résout pour trouver les valeurs des inconnues qui satisfont les deux équations simultanément.
Exemple
Un magasin vend des stylos à 2 € et des cahiers à 5 €. Tu as dépensé 23 € pour 7 articles. On écrit : $x + y = 7$ et $2x + 5y = 23$. En remplaçant $x$ par $7 - y$ : $14 + 3y = 23$, donc $y = 3$ cahiers et $x = 4$ stylos.
À retenir : On résout par substitution ou par combinaison (élimination) : $\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$ a une solution unique si $ae - bd \neq 0$
Applications aux problèmes de physique et d'ingénierie
Les mathématiques précédentes s'appliquent directement à des problèmes réels : calcul de trajectoires, forces, circuits électriques, structures. C'est le lien entre théorie et pratique.
Exemple
Un ingénieur en aéronautique utilise les vecteurs pour calculer la résultante des forces sur une aile, la trigonométrie pour l'angle d'attaque, et les systèmes linéaires pour équilibrer les charges.
À retenir : Les mathématiques sont les outils pour modéliser et résoudre les problèmes concrets d'ingénierie et de physique
Les points clés
- Les vecteurs permettent de représenter des grandeurs avec direction et norme, essentiels en physique pour les forces et déplacements
- La trigonométrie relie angles et distances, indispensable pour calculer des hauteurs, distances ou angles inaccessibles
- Les nombres complexes simplifient les calculs en électronique et en physique ondulatoire grâce à leur représentation algébrique
- Les systèmes linéaires 2x2 modélisent des situations où deux conditions doivent être satisfaites simultanément
- Toutes ces notions s'intègrent pour résoudre des problèmes d'ingénierie réels et concrets
L'essentiel
Les mathématiques de Première (vecteurs, trigonométrie, complexes, systèmes) sont les outils fondamentaux pour modéliser et résoudre les problèmes de physique et d'ingénierie.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un drone doit se déplacer de 100 m vers le nord, puis de 75 m vers l'est. Calcule la distance totale parcourue et la distance directe entre le point de départ et d'arrivée.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Deux forces s'exercent sur un même point : une force de 30 N vers le nord et une force de 40 N vers l'est. Calcule la norme de la force résultante et l'angle qu'elle fait avec la direction de l'est.
Corrige cet exercice avec le tuteur →