Séries statistiques à deux variables quantitatives en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de séries statistiques à deux variables quantitatives pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Nuage de points
- Ajustement affine
- Méthode des moindres carrés
- Changement de variable pour se ramener à un ajustement affine
- Interpolation et extrapolation
Nuage de points et représentation
Un nuage de points est un graphique où chaque point représente un individu avec ses deux caractéristiques (coordonnées). On place les données sur un repère : une variable en abscisse, l'autre en ordonnée. Cela permet de visualiser s'il existe une relation entre les deux variables.
Exemple
Dans un lycée, tu peux tracer le lien entre le nombre d'heures étudiées et la note obtenue au bac : chaque élève devient un point (heures ; note).
À retenir : Le nuage de points montre visuellement s'il y a une tendance (croissance, décroissance) entre deux variables.
Ajustement affine et droite de régression
L'ajustement affine consiste à trouver une droite qui passe au plus près de tous les points du nuage, sans forcément passer par tous. Cette droite a pour équation $y = ax + b$ et modélise la relation linéaire entre les deux variables.
Exemple
Pour prédire le prix d'une voiture en fonction de son âge : au lieu d'utiliser chaque voiture vendue, on utilise une droite qui représente la tendance générale.
À retenir : La droite d'ajustement affine résume la tendance du nuage et permet de faire des prédictions.
Méthode des moindres carrés
La méthode des moindres carrés donne la droite $y = ax + b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite, c'est-à-dire $\sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2$. En pratique, on obtient les coefficients $a$ et $b$ avec la calculatrice (mode statistiques, régression linéaire) ou avec un tableur.
Exemple
Pour prévoir la consommation d'électricité d'une maison en fonction de la température extérieure, on cherche la droite qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux entre les points relevés et la droite.
À retenir : La droite des moindres carrés rend minimale $\sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2$ ; ses coefficients se lisent sur la calculatrice ou le tableur, et elle passe par le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$.
Changement de variable pour linéariser
Parfois les données ne suivent pas une relation affine (par exemple une croissance exponentielle). On effectue un changement de variable (comme $Y = \log(y)$, $Y = \frac{1}{y}$ ou $X = x^2$) pour obtenir une relation affine, puis on applique l'ajustement affine.
Exemple
Une population de bactéries qui double toutes les heures suit une croissance exponentielle. En posant $Y = \log(y)$ (logarithme décimal), on obtient une relation affine entre le temps et $Y$.
À retenir : Un changement de variable judicieux transforme une relation non affine en ajustement affine exploitable.
Interpolation et extrapolation
L'interpolation prédit une valeur entre deux données observées (à l'intérieur du nuage). L'extrapolation prédit une valeur en dehors de l'intervalle observé (on prolonge la droite). Les deux utilisent l'équation de la droite d'ajustement.
Exemple
Tu as les ventes de glaces de juillet à septembre. L'interpolation estime les ventes du 15 août (entre tes données). L'extrapolation estime les ventes de décembre (dehors de la période).
À retenir : L'interpolation est fiable (proche des données), mais l'extrapolation est plus risquée (on suppose que la tendance continue).
Les points clés
- Équation de la droite d'ajustement : $y = ax + b$, avec $a$ et $b$ obtenus à la calculatrice ou au tableur
- Méthode des moindres carrés : la droite rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux $\sum (y_i - (ax_i + b))^2$ ; elle passe par le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$
- Les changements de variable courants : $Y = \log(y)$, $X = x^2$, $Y = \frac{1}{y}$ pour ramener à une relation linéaire
- L'interpolation utilise la droite entre deux points observés ; l'extrapolation la prolonge au-delà des données
L'essentiel
L'objectif du chapitre est de modéliser la relation entre deux variables par une droite pour comprendre la tendance, faire des prédictions fiables entre les données (interpolation) et estimer le futur avec prudence (extrapolation).
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
On observe le lien entre les heures de sommeil par nuit (x) et la note à un contrôle de maths (y) pour 5 élèves : (6 ; 12), (7 ; 14), (8 ; 16), (9 ; 17), (5 ; 10). Calcule les coordonnées du point moyen G. À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, donne l'équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés et vérifie qu'elle passe par G. Quelle note prédit-on pour un élève qui dort 7,5 heures ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une bactérie se reproduit en doublant sa population toutes les heures. Au départ (t=0), il y a 100 bactéries. On relève : (0 ; 100), (1 ; 200), (2 ; 400), (3 ; 800), (4 ; 1600). Pourquoi l'ajustement affine classique ne fonctionne-t-il pas ? Quel changement de variable peux-tu effectuer ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →