Méthode des moindres carrés en Terminale
Méthode des moindres carrés, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Séries statistiques à deux variables quantitatives », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Méthode des moindres carrés : le cours
La méthode des moindres carrés donne la droite $y = ax + b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite, c'est-à-dire $\sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2$. En pratique, on obtient les coefficients $a$ et $b$ avec la calculatrice (mode statistiques, régression linéaire) ou avec un tableur.
Exemple
Pour prévoir la consommation d'électricité d'une maison en fonction de la température extérieure, on cherche la droite qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux entre les points relevés et la droite.
À retenir
La droite des moindres carrés rend minimale $\sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b))^2$ ; ses coefficients se lisent sur la calculatrice ou le tableur, et elle passe par le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$.
S'entraîner sur méthode des moindres carrés
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On observe le lien entre les heures de sommeil par nuit (x) et la note à un contrôle de maths (y) pour 5 élèves : (6 ; 12), (7 ; 14), (8 ; 16), (9 ; 17), (5 ; 10). Calcule les coordonnées du point moyen G. À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, donne l'équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés et vérifie qu'elle passe par G. Quelle note prédit-on pour un élève qui dort 7,5 heures ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une bactérie se reproduit en doublant sa population toutes les heures. Au départ (t=0), il y a 100 bactéries. On relève : (0 ; 100), (1 ; 200), (2 ; 400), (3 ; 800), (4 ; 1600). Pourquoi l'ajustement affine classique ne fonctionne-t-il pas ? Quel changement de variable peux-tu effectuer ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Séries statistiques à deux variables quantitatives (Mathématiques Terminale).