Probabilités continues et loi normale en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités continues et loi normale pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Loi uniforme sur un intervalle
- Loi normale : définition et propriétés
- Loi normale centrée réduite
- Intervalle de confiance
- Application à l'estimation et aux sondages
Loi uniforme sur un intervalle
Une variable aléatoire suit une loi uniforme sur un intervalle [a, b] quand elle a la même probabilité de prendre n'importe quelle valeur dans cet intervalle. C'est comme tirer un nombre au hasard entre deux bornes avec égalité de chances partout.
Exemple
Le temps d'attente d'un bus qui passe toutes les 10 minutes : si tu arrives à un moment aléatoire, ton temps d'attente suit une loi uniforme entre 0 et 10 minutes.
À retenir : Pour une loi uniforme sur [a, b], la probabilité d'un intervalle est $P(c \leq X \leq d) = \frac{d-c}{b-a}$
Loi normale : définition et propriétés
La loi normale est la distribution la plus importante en probabilités. Elle décrit comment se répartissent naturellement beaucoup de phénomènes (tailles, poids, notes). Elle a une forme de cloche symétrique autour de sa moyenne.
Exemple
Les tailles des adolescents français : la plupart sont proches de la moyenne (175 cm), et il y a de moins en moins de très grands ou très petits. Cette distribution suit une loi normale.
À retenir : Une loi normale est définie par sa moyenne $\mu$ et son écart-type $\sigma$ : $N(\mu, \sigma)$
Loi normale centrée réduite
C'est la loi normale particulière avec moyenne 0 et écart-type 1, notée $N(0, 1)$. Elle sert de référence pour tous les calculs de probabilités avec la loi normale.
Exemple
Quand tu standardises tes notes en les centrant autour de 0 et en les divisant par l'écart-type de la classe, tu obtiens une loi normale centrée réduite.
À retenir : Pour passer de $N(\mu, \sigma)$ à $N(0, 1)$, on utilise la transformation $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
Intervalle de confiance et estimation
Un intervalle de confiance est une plage de valeurs dans laquelle on est sûr (avec un certain pourcentage de certitude) que se trouve le vrai paramètre qu'on cherche à estimer. C'est utilisé pour les sondages.
Exemple
Un sondage dit : 'Le candidat a 52% d'intentions de vote avec un intervalle de confiance de ±3%'. Cela signifie qu'on est confiant que le vrai pourcentage est entre 49% et 55%.
À retenir : Pour une proportion, l'intervalle de confiance à 95% est $\left[p - 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p + 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$
Application aux sondages et estimation
Les intervalles de confiance permettent d'estimer les paramètres d'une population à partir d'un échantillon. Plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est petit et précis.
Exemple
Un institut de sondage interroge 1000 personnes pour connaître l'intention de vote. Avec cet échantillon, il peut estimer le résultat réel pour toute la population avec une marge d'erreur calculée.
À retenir : La taille de l'échantillon est cruciale : augmenter n réduit la largeur de l'intervalle de confiance
Les points clés
- La loi uniforme donne une probabilité proportionnelle à la longueur de l'intervalle
- La loi normale est symétrique autour de sa moyenne et décrit la plupart des phénomènes naturels
- La loi normale centrée réduite N(0,1) est le standard pour tous les calculs
- Un intervalle de confiance à 95% signifie qu'on a 95% de chances que le vrai paramètre s'y trouve
- Plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est précise
L'essentiel
La loi normale centrée réduite N(0,1) est l'outil fondamental pour calculer les probabilités et construire les intervalles de confiance utilisés dans tous les sondages.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un capteur de température mesure avec une précision suivant une loi normale centrée de variance 0,25. Quelle est la probabilité qu'une mesure s'écarte de plus de 0,5 de la valeur vraie ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un fabricant de bouteilles veut vérifier la conformité de sa production. La contenance suit N(500, 5²). Quelle proportion de bouteilles contient entre 490 et 510 ml ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →