Évolution relative constante en Terminale
Évolution relative constante, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions exponentielles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Évolution relative constante : le cours
Une évolution relative constante signifie que le taux de changement reste le même à chaque étape (chaque jour, chaque année). Cela produit naturellement une fonction exponentielle. Si tu augmentes de 20 % chaque mois, après n mois, tu multiplies par $1{,}2^n$. Taux d'évolution moyen : si une quantité est multipliée au total par $C$ en $n$ périodes, le taux moyen $t$ par période vérifie $(1 + t)^n = C$, donc $1 + t = C^{1/n}$ et $t = C^{1/n} - 1$.
Exemple
Un téléphone se dévalue de 15 % chaque année. Après 1 an, il vaut 85 % du prix. Après 2 ans, $0{,}85^2 ≈ 0{,}72$ du prix initial. Le coefficient multiplicateur reste 0,85 à chaque étape. Taux moyen : une hausse globale de 21 % en 2 ans correspond à un taux annuel moyen $t$ tel que $(1 + t)^2 = 1{,}21$, donc $1 + t = 1{,}21^{1/2} = 1{,}1$ et $t = 10$ %. De même, le taux mensuel équivalent à une hausse de 6 % par an vaut $1{,}06^{1/12} - 1 \approx 0{,}0049$, soit environ 0,49 % par mois.
À retenir
Une évolution relative constante de taux $r$ donne une fonction exponentielle $f(t) = (1 + r)^t$ ou $f(t) = (1 - r)^t$. Le taux moyen équivalent à $n$ évolutions successives de coefficient multiplicateur global $C$ est $t = C^{1/n} - 1$.
S'entraîner sur évolution relative constante
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un capital de 1000 euros est placé à un taux d'intérêt composé de 4 % par an. Quel sera le capital après 5 ans ? Exprime le résultat sous la forme d'une fonction exponentielle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive se désintègre avec une demi-vie de 10 ans. Si on part avec 100 g, combien de grammes restera-t-il après 30 ans ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions exponentielles (Mathématiques Terminale).