Vecteurs en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de vecteurs pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Repérage dans l’espace muni d’un repère orthonormé
- Coordonnées d’un vecteur dans l’espace
- Vecteurs égaux, opposés, colinéaires dans l’espace
- Norme d’un vecteur
Repérage dans l'espace avec repère orthonormé
Un repère orthonormé de l'espace est constitué d'un point origine O et de trois axes perpendiculaires deux à deux (x, y, z), tous gradués avec la même unité. Cela permet de localiser n'importe quel point en 3D.
Exemple
Dans un entrepôt de e-commerce, on utilise un repère orthonormé pour localiser chaque colis : l'axe x pour la profondeur des rayons, y pour la largeur, et z pour la hauteur. Un colis au point (5 ; 3 ; 2) est à 5 m en avant, 3 m à droite et 2 m en haut.
À retenir : Un repère orthonormé 3D possède trois axes perpendiculaires avec une même unité de mesure, et permet de donner les coordonnées (x, y, z) de tout point.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
Les coordonnées d'un vecteur sont les différences entre les coordonnées de son point d'arrivée et son point de départ. Un vecteur se note $\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$ en 3D.
Exemple
Un drone passe du point A(1 ; 2 ; 0) au point B(4 ; 5 ; 3). Le vecteur déplacement du drone est $\vec{AB} = (4-1 ; 5-2 ; 3-0) = (3 ; 3 ; 3)$ : il avance de 3 unités dans chaque direction.
À retenir : Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ se calculent en soustrayant les coordonnées de A aux coordonnées de B.
Vecteurs égaux, opposés et colinéaires
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées. Un vecteur opposé à $\vec{u}$ est noté $-\vec{u}$ et a des coordonnées opposées. Avec $\vec{v} \neq \vec{0}$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel k tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (ils sont parallèles) ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Exemple
Un drone effectue un premier déplacement selon le vecteur $\vec{v} = (2 ; 1 ; 0)$, puis un second selon $\vec{w} = (4 ; 2 ; 0) = 2\vec{v}$. Ces vecteurs sont colinéaires : même direction et même sens, $\vec{w}$ est deux fois plus long que $\vec{v}$.
À retenir : Avec $\vec{v} \neq \vec{0}$ : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que $\vec{u} = k\vec{v}$, c'est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Somme de deux vecteurs et produit par un réel
Dans l'espace, on calcule coordonnée par coordonnée. Si $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x' ; y' ; z')$, alors le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x' ; y + y' ; z + z')$ et, pour un réel $k$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx ; ky ; kz)$.
Exemple
Avec $\vec{u}(2 ; -1 ; 2)$ et $\vec{v}(1 ; 3 ; 0)$ : $\vec{u} + \vec{v} = (2 + 1 ; -1 + 3 ; 2 + 0) = (3 ; 2 ; 2)$ et $3\vec{u} = (3 \times 2 ; 3 \times (-1) ; 3 \times 2) = (6 ; -3 ; 6)$. Un drone qui effectue le déplacement $\vec{u}$ puis le déplacement $\vec{v}$ a effectué au total le déplacement $\vec{u} + \vec{v}$.
À retenir : Somme de deux vecteurs : on additionne les coordonnées de même rang. Produit d'un vecteur par un réel $k$ : on multiplie chaque coordonnée par $k$.
Norme d'un vecteur dans l'espace
La norme (ou longueur) d'un vecteur $\vec{u} = (x ; y ; z)$ est la distance qu'il représente. Elle se calcule avec la formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Exemple
Un drone se déplace en ligne droite de 3 m vers l'avant, 4 m sur le côté et 2 m vers le haut. La longueur de ce déplacement est $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}4$ m.
À retenir : La norme d'un vecteur $\vec{u} = (x ; y ; z)$ est toujours $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, c'est l'extension du théorème de Pythagore en 3D.
Les points clés
- Un repère orthonormé 3D nécessite une origine O et trois axes perpendiculaires gradués avec la même unité
- Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ se trouvent par soustraction : $(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$
- Deux vecteurs sont égaux si et seulement si toutes leurs coordonnées sont identiques
- Avec $\vec{v} \neq \vec{0}$, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, soit $\vec{u} = k\vec{v}$ ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
- Somme : $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x' ; y + y' ; z + z')$ ; produit par un réel : $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx ; ky ; kz)$
- La norme d'un vecteur $\vec{u} = (x ; y ; z)$ est donnée par $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
L'essentiel
Les vecteurs en 3D se manipulent comme en 2D mais avec trois coordonnées : coordonnées, égalité, somme, produit par un réel, colinéarité et norme suivent les mêmes principes en y ajoutant simplement la troisième coordonnée.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Soit A(1 ; 2 ; 3), B(4 ; 5 ; 6) et C(7 ; 8 ; 9). Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Vérifier s'ils sont colinéaires. Calculer la norme de $\vec{AB}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un vecteur $\vec{u} = (2 ; -1 ; 2)$. Trouver un vecteur $\vec{v}$ tel que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires et que $\|\vec{v}\| = 6$. Calculer également les coordonnées du vecteur opposé à $\vec{u}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →