Trigonométrie en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de trigonométrie pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Fonctions sinus et cosinus
- Grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ)
- Représentation de Fresnel
- Équations trigonométriques simples
- Somme de tensions ou d’intensités sinusoïdales de même fréquence
Fonctions sinus et cosinus
Le sinus et le cosinus sont deux fonctions périodiques qui répètent leur valeur tous les 2π radians (360°). Elles décrivent des oscillations régulières, comme les mouvements circulaires ou les ondes.
Exemple
Quand une grande roue tourne à vitesse constante, la hauteur d'une nacelle par rapport au sol suit une courbe sinusoïdale : elle monte, redescend, remonte... C'est exactement ce que représente la fonction sinus.
À retenir : $\sin(x)$ et $\cos(x)$ oscillent entre -1 et +1 avec une période de $2\pi$.
Grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ)
Une grandeur sinusoïdale est une quantité qui varie en suivant une courbe sinusoïdale. Elle est définie par son amplitude (a), sa pulsation (ω) et sa phase initiale (φ).
Exemple
La tension du secteur en France a une valeur efficace de 230 V et une fréquence de 50 Hz. Elle s'écrit $u(t) = 325\sin(100\pi t + \varphi)$ en volts : son amplitude est $230\sqrt{2} \approx 325$ V et elle oscille 50 fois par seconde (c'est la fréquence).
À retenir : Dans $a\sin(\omega t + \varphi)$, $a$ est l'amplitude, $\omega$ la pulsation (en rad/s), et $\varphi$ le décalage initial.
Représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel utilise des vecteurs tournants pour représenter les grandeurs sinusoïdales. Chaque vecteur a une longueur égale à l'amplitude et tourne avec une vitesse angulaire égale à la pulsation.
Exemple
Imagine deux ondes sonores qui arrivent à ton oreille avec un léger décalage : Fresnel te permet de les visualiser comme deux flèches qui tournent et de voir comment elles interfèrent (s'ajoutent ou s'annulent).
À retenir : Fresnel transforme les calculs de sinus en additions de vecteurs, c'est plus simple et plus visuel.
Équations trigonométriques simples
Une équation trigonométrique est une égalité contenant des fonctions sinus ou cosinus. Les résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l'équation.
Exemple
Trouver à quelle heure le soleil atteint une certaine hauteur sur l'horizon revient à résoudre une équation du type $\sin(\omega t) = 0{,}5$.
À retenir : Pour $\sin(x) = k$ avec $-1 \leq k \leq 1$ : si $\alpha$ est une solution (obtenue par exemple avec la touche $\sin^{-1}$ de la calculatrice), les solutions sont $x = \alpha + 2n\pi$ et $x = \pi - \alpha + 2n\pi$, avec $n$ entier relatif : il y a deux solutions par période (confondues si $k = 1$ ou $k = -1$).
Somme de tensions sinusoïdales de même fréquence
Additionner deux ou plusieurs grandeurs sinusoïdales de même fréquence donne une nouvelle grandeur sinusoïdale de même fréquence. On peut utiliser Fresnel pour trouver l'amplitude et la phase résultantes.
Exemple
Deux haut-parleurs diffusent le même morceau de musique avec un petit retard : au point où tu te tiens, les deux ondes sonores s'additionnent (ou se réduisent selon le retard). C'est la somme de deux sinusoïdes.
À retenir : La somme $a_1\sin(\omega t + \varphi_1) + a_2\sin(\omega t + \varphi_2) = A\sin(\omega t + \Phi)$ où $A$ et $\Phi$ se calculent par Fresnel.
Les points clés
- Les fonctions $\sin(x)$ et $\cos(x)$ ont une période de $2\pi$ et sont décalées d'un quart de période : $\cos(x) = \sin(x + \pi/2)$
- Une grandeur sinusoïdale $a\sin(\omega t + \varphi)$ oscille entre $-a$ et $+a$ avec pulsation $\omega = 2\pi f$ (f = fréquence en Hz)
- En représentation de Fresnel, additionner deux sinusoïdes revient à additionner deux vecteurs géométriquement
- Pour résoudre $\sin(x) = k$ avec $|k| \leq 1$, donner toutes les solutions en tenant compte de la périodicité
- La somme de deux sinusoïdes de même fréquence est toujours une sinusoïde de même fréquence (pas d'harmoniques)
L'essentiel
La trigonométrie décrit toutes les oscillations régulières du monde réel : électricité, ondes, vibrations. Maîtriser sinus, cosinus et Fresnel, c'est comprendre comment elles se combinent.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un circuit électrique contient une tension $u_1(t) = 100\sin(100\pi t)$ V et une tension $u_2(t) = 80\sin(100\pi t + \pi/3)$ V en série. Détermine l'amplitude et la phase de la tension totale $u(t) = u_1(t) + u_2(t)$ en utilisant la représentation de Fresnel.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Résous l'équation $\sin(2x) = \frac{1}{2}$ pour $x \in [0 ; 2\pi]$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →