Probabilités conditionnelles et indépendance en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités conditionnelles et indépendance pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Arbre pondéré et probabilités conditionnelles
- Événements indépendants
- Applications au contrôle qualité
- Lecture de tableaux croisés et probabilités
Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
La probabilité conditionnelle, notée $P_A(B)$, mesure la chance qu'un événement B se produise sachant qu'un événement A s'est déjà réalisé. Un arbre pondéré est un schéma qui représente toutes les étapes d'une expérience aléatoire avec les probabilités sur chaque branche.
Exemple
Tu achètes un téléphone chez un revendeur. Sachant qu'il vient de l'usine A (et non B), quelle est la probabilité qu'il soit sans défaut ? L'arbre trace d'abord le choix de l'usine, puis le défaut ou non du téléphone.
À retenir : La probabilité conditionnelle se calcule par $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Événements indépendants
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. C'est-à-dire que connaître le résultat du premier n'aide pas à prédire le second.
Exemple
Le résultat du premier jet de dé n'influence pas le résultat du deuxième jet. Ou : savoir si tu as eu 15 en français n'aide pas à prédire ta note en maths si les épreuves sont indépendantes.
À retenir : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
Tableau croisé et lecture de probabilités
Un tableau croisé (ou tableau de contingence) résume les effectifs ou fréquences de deux variables simultanément. Il permet de calculer rapidement des probabilités en lisant les cases et les totaux.
Exemple
Un tableau qui croise le type d'achat (en ligne / en magasin) et la satisfaction du client (satisfait / insatisfait). Tu peux alors calculer : quelle proportion de clients en ligne sont satisfaits ?
À retenir : Pour lire un tableau croisé : identifie la case qui correspond à ton événement, divise-la par le total pertinent (ligne, colonne ou ensemble)
Contrôle qualité et probabilités
Le contrôle qualité utilise les probabilités pour tester si un lot de produits respecte les normes. On prélève un échantillon aléatoire et on calcule la fréquence des défauts dans l'échantillon pour estimer la proportion (ou la probabilité) de défaut de tout le lot.
Exemple
Une usine fabrique des ampoules. Pour vérifier la qualité, on teste 100 ampoules au hasard. Si 2 sont défectueuses, on estime que 2 % du lot complet a des défauts. On peut alors décider d'accepter ou rejeter le lot.
À retenir : Le contrôle qualité repose sur l'hypothèse que l'échantillon testé représente bien le lot entier
Formule des probabilités totales
Quand un événement B peut survenir par plusieurs chemins distincts et incompatibles de l'arbre, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
Exemple
Pour trouver la probabilité qu'un client soit satisfait : il peut avoir acheté en ligne ET être satisfait, OU acheter en magasin ET être satisfait. On additionne ces deux cas.
À retenir : Avec un événement A et son contraire $\overline{A}$ : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. On additionne les chemins de l'arbre qui mènent à B.
Les points clés
- $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ : formule fondamentale de probabilité conditionnelle
- Deux événements sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
- Un arbre pondéré aide à visualiser tous les cas possibles et à appliquer la formule des probabilités totales
- Dans un tableau croisé, on divise par le total approprié : pour une probabilité conditionnelle, par le total de la ligne ou de la colonne de la condition
- Probabilité d'un événement obtenue avec l'arbre : on additionne les probabilités des chemins qui y mènent, par exemple $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$
L'essentiel
Les probabilités conditionnelles permettent de recalculer les chances en tenant compte d'une information nouvelle : c'est comprendre comment une donnée change la prédiction.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un magasin de vêtements vend des jeans de deux marques : 60 % de la marque M et 40 % de la marque N. On sait que 5 % des jeans de la marque M ont un défaut de couture, contre 8 % des jeans de la marque N. Un client achète un jean au hasard. On note M l'événement « le jean est de la marque M », N l'événement « le jean est de la marque N » et D l'événement « le jean a un défaut ». 1) Construis l'arbre pondéré de la situation. 2) Calcule la probabilité que le jean ait un défaut. 3) Le client découvre un défaut. Calcule la probabilité que ce jean soit de la marque N.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une école propose deux options : sport (S) et arts (A). On interroge 200 élèves : 80 font du sport, 70 font de l'art, et 30 font les deux. On choisit un élève au hasard. Les événements S et A sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →