Probabilités conditionnelles et indépendance en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de probabilités conditionnelles et indépendance pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Arbre pondéré et probabilités conditionnelles
- Événements indépendants
- Loi binomiale et schéma de Bernoulli
- Applications au contrôle qualité
- Lecture de tableaux croisés et probabilités
Probabilité conditionnelle et arbre pondéré
La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà réalisé. On la note $P(A|B)$ et on la calcule avec la formule $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Un arbre pondéré est un diagramme qui représente toutes les possibilités et leurs probabilités.
Exemple
Tu tires une carte d'un jeu. Quelle est la probabilité que ce soit un cœur sachant que c'est une figure (valet, dame, roi) ? C'est une probabilité conditionnelle.
À retenir : Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long du chemin.
Événements indépendants
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ou de façon équivalente si $P(A|B) = P(A)$.
Exemple
Lancer un dé et lancer une pièce de monnaie sont deux événements indépendants : le résultat du dé n'affecte pas celui de la pièce.
À retenir : Deux événements sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Un schéma de Bernoulli est une répétition d'expériences identiques et indépendantes, chacune ayant deux résultats : succès ou échec. La loi binomiale donne la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ répétitions. La formule est $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ où $p$ est la probabilité de succès.
Exemple
Tu lances 10 fois un dé et tu comptes combien de fois tu obtiens un 6. Le nombre de 6 suit une loi binomiale avec $n = 10$ et $p = \frac{1}{6}$.
À retenir : La loi binomiale compte le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes.
Tableau croisé et probabilités
Un tableau croisé (ou tableau de contingence) organise les données selon deux critères. Il permet de calculer facilement les probabilités en lisant les effectifs. On peut en extraire les probabilités conditionnelles en divisant par le total de la ligne ou colonne pertinente.
Exemple
Un tableau croisé peut montrer le nombre d'élèves par sexe et par filière. On peut alors calculer la probabilité qu'un élève soit en filière pro sachant que c'est une fille.
À retenir : Dans un tableau croisé, $P(A|B) = \frac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif total de } B}$.
Applications au contrôle qualité
Le contrôle qualité utilise les probabilités pour vérifier qu'un lot de produits respecte les normes. On teste un échantillon et on utilise la loi binomiale pour estimer si le lot entier est acceptable ou doit être rejeté.
Exemple
Une usine fabrique des ampoules. On teste 50 ampoules et on accepte le lot si moins de 3 sont défectueuses. On utilise la loi binomiale pour calculer cette probabilité.
À retenir : Le contrôle qualité applique la loi binomiale pour prendre des décisions sur l'acceptation ou le rejet d'un lot.
Les points clés
- La probabilité conditionnelle $P(A|B)$ dépend de la réalisation de l'événement $B$
- Deux événements indépendants satisfont $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
- La loi binomiale compte les succès dans $n$ épreuves de Bernoulli : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
- Un arbre pondéré se lit en multipliant les probabilités le long d'un chemin
- Un tableau croisé permet de lire directement les effectifs pour calculer les probabilités conditionnelles
L'essentiel
La probabilité conditionnelle et l'indépendance sont les clés pour comprendre comment les événements s'influencent, et la loi binomiale permet de calculer des probabilités dans des situations répétées.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une usine produit des téléphones. 95% fonctionnent correctement à la sortie. On teste 20 téléphones. Quelle est la probabilité qu'exactement 19 téléphones fonctionnent correctement ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un lycée, 60% des élèves prennent l'option Maths et 40% prennent l'option Physique. 25% prennent les deux. Calcule la probabilité qu'un élève prenne Maths sachant qu'il prend Physique.
Corrige cet exercice avec le tuteur →