Loi faible des grands nombres en Terminale

Loi faible des grands nombres : le cours

Soit $X_1, \dots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $V$, et $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ leur moyenne. Énoncé : pour tout réel $\delta > 0$, $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0$. Il se déduit de l'inégalité de concentration : $0 \leq P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n\delta^2}$, et $\frac{V}{n\delta^2}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$ (théorème des gendarmes). Interprétation : quel que soit l'écart $\delta$ choisi, la probabilité que la moyenne de l'échantillon s'écarte de l'espérance d'au moins $\delta$ tend vers 0 quand la taille de l'échantillon augmente. La moyenne se rapproche de l'espérance avec une probabilité de plus en plus grande, mais ce n'est jamais une certitude pour un échantillon donné.