Inégalité de concentration en Terminale
Inégalité de concentration, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Concentration et loi des grands nombres », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Inégalité de concentration : le cours
L'inégalité de concentration s'applique à la moyenne $M_n$ d'un échantillon de $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Pour tout $\delta > 0$ : $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n\delta^2}$. C'est une majoration (une borne), pas une probabilité exacte.
Exemple
Un joueur a des scores d'espérance 1000 points et d'écart-type 100 (variance 10 000). Sur 100 parties indépendantes, la moyenne $M_{100}$ des scores vérifie $P(|M_{100} - 1000| \geq 50) \leq \frac{10\,000}{100 \times 50^2} = 0{,}04$ : la moyenne des 100 scores est strictement comprise entre 950 et 1050 avec une probabilité d'au moins 96 %.
À retenir
Plus l'échantillon est grand, plus la moyenne se concentre autour de l'espérance : la borne $\frac{V}{n\delta^2}$ diminue quand $n$ augmente.
S'entraîner sur inégalité de concentration
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une usine fabrique des ampoules. On teste un échantillon de 400 ampoules et on trouve que 20 sont défectueuses. Estime la proportion de défauts dans toute la production. En supposant que la vraie proportion de défauts est 5 %, utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la proportion observée sur un échantillon de 400 ampoules soit strictement comprise entre 3 % et 7 %.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un sondage interroge 1 000 personnes sur l'intention de vote pour le candidat A. Parmi elles, 520 votent pour A. Estime la proportion d'électeurs qui voteront pour A dans toute la population. Que dit la loi des grands nombres sur la fiabilité de cette estimation si on interrogeait 10 000 personnes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Concentration et loi des grands nombres (Mathématiques Terminale).