Inégalité de Bienaymé-Tchebychev en Terminale
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Concentration et loi des grands nombres », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : le cours
C'est une règle mathématique qui nous dit : peu importe la loi de probabilité, on peut toujours garantir qu'une variable aléatoire ne s'éloigne pas trop de sa moyenne. Elle donne une borne (une limite supérieure) à la probabilité de s'écarter de la moyenne.
Exemple
Le poids $X$ (en kg) d'un élève choisi au hasard dans un lycée a pour espérance 65 kg et pour écart-type 5 kg, donc pour variance 25. L'inégalité donne $P(|X - 65| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0{,}25$ : la probabilité qu'un élève pèse 10 kg ou plus d'écart avec 65 kg est au plus 0,25. Sans connaître la variance, on ne pourrait rien conclure.
À retenir
Pour tout $k > 0$ : $P(|X - E(X)| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2}$
S'entraîner sur inégalité de bienaymé-tchebychev
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une usine fabrique des ampoules. On teste un échantillon de 400 ampoules et on trouve que 20 sont défectueuses. Estime la proportion de défauts dans toute la production. En supposant que la vraie proportion de défauts est 5 %, utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité que la proportion observée sur un échantillon de 400 ampoules soit strictement comprise entre 3 % et 7 %.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un sondage interroge 1 000 personnes sur l'intention de vote pour le candidat A. Parmi elles, 520 votent pour A. Estime la proportion d'électeurs qui voteront pour A dans toute la population. Que dit la loi des grands nombres sur la fiabilité de cette estimation si on interrogeait 10 000 personnes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Concentration et loi des grands nombres (Mathématiques Terminale).