Triangle rectangle et Pythagore en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de triangle rectangle et pythagore pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Propriété de la médiane relative à l'hypoténuse
- Théorème de Pythagore
- Réciproque du théorème de Pythagore
- Application : calcul de longueurs
- Contraposée : vérifier qu'un triangle est rectangle
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C'est une relation mathématique très utile pour calculer des longueurs.
Exemple
Un menuisier veut vérifier que son étagère est bien d'équerre. Il mesure 60 cm d'un côté et 80 cm de l'autre. Si la diagonale mesure 100 cm, alors l'angle est droit car 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 = 100².
À retenir : Dans un triangle rectangle : $a^2 + b^2 = c^2$ où c est l'hypoténuse.
La réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. C'est l'inverse du théorème : on l'utilise pour prouver qu'un triangle est rectangle.
Exemple
Tu as un triangle avec des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm. Tu calcules : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Donc ce triangle est rectangle.
À retenir : Si $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est rectangle.
La contraposée : vérifier qu'un triangle n'est pas rectangle
Si le carré du plus long côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle. C'est la contraposée du théorème de Pythagore.
Exemple
Un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 6 cm. On vérifie : 3² + 4² = 9 + 16 = 25, mais 6² = 36. Puisque 25 ≠ 36, ce triangle n'est pas rectangle.
À retenir : Si $a^2 + b^2 ≠ c^2$, alors le triangle n'est pas rectangle.
Calcul de longueurs avec Pythagore
Quand on connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on peut calculer le troisième côté en utilisant la formule $a^2 + b^2 = c^2$. Il faut bien identifier l'hypoténuse et les deux autres côtés.
Exemple
Un écran de téléphone a une largeur de 8 cm et une hauteur de 6 cm. La diagonale mesure : $d^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$, donc $d = 10$ cm.
À retenir : Toujours identifier l'hypoténuse (le côté le plus long) avant de calculer.
La médiane relative à l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, la médiane qui part de l'angle droit jusqu'au milieu de l'hypoténuse a une longueur égale à la moitié de l'hypoténuse. C'est une propriété spéciale des triangles rectangles.
Exemple
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm. La médiane qui va du sommet de l'angle droit au milieu de l'hypoténuse mesure exactement 5 cm, soit la moitié de 10 cm.
À retenir : Médiane relative à l'hypoténuse = hypoténuse ÷ 2.
Les points clés
- L'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit.
- Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur inconnue quand on en connaît deux autres.
- La réciproque et la contraposée permettent de vérifier si un triangle est rectangle ou non sans mesurer l'angle.
- La médiane relative à l'hypoténuse vaut toujours la moitié de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
L'essentiel
Le théorème de Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$) est la relation fondamentale du triangle rectangle et permet de calculer des longueurs ou de vérifier qu'un triangle est rectangle.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un triangle rectangle a deux côtés de 3 cm et 4 cm (les côtés qui forment l'angle droit). Calcule la longueur de l'hypoténuse.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un triangle a des côtés de 7 cm, 24 cm et 25 cm. Vérifie si ce triangle est rectangle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →