Proportionnalité et pourcentages en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de proportionnalité et pourcentages pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Reconnaître une situation de proportionnalité
- Les procédures : linéarité, retour à l’unité, coefficient
- Le coefficient de proportionnalité en contexte
- Calculer et appliquer des proportions et des pourcentages
- Prendre 1 %, 10 % ou 50 % d’un nombre
- Représenter une situation de proportionnalité
- Reconnaître un nuage de points de proportionnalité
Ce que tu vas réviser
- Reconnaître une situation de proportionnalité (prix, recettes, distances, échelles)
- Procédures : linéarité, retour à l'unité, coefficient de proportionnalité
- Coefficient de proportionnalité en contexte : prix unitaire, vitesse moyenne, échelle
- Calculer et appliquer des proportions et des pourcentages
- Prendre 1 %, 10 % ou 50 % d'un nombre
- Représenter une situation de proportionnalité par un tableau ou un graphique
- Reconnaître si un nuage de points traduit ou non une situation de proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Alors, si l'une est multipliée par 2, 3 ou 10, l'autre l'est aussi. C'est le cas du prix payé et de la masse achetée à prix fixe au kilogramme, des quantités d'une recette et du nombre de personnes, de la distance parcourue à vitesse constante et de la durée, ou des longueurs sur un plan et dans la réalité.
Exemple
Des tomates à 3,20 € le kilogramme : 2 kg coûtent 6,40 €, le double de 1 kg ; c'est une situation de proportionnalité. Contre-exemple : un club de sport coûte 10 € d'inscription plus 2 € par séance. 1 séance coûte 12 €, 2 séances coûtent 14 €, et non 24 € : le prix n'est pas proportionnel au nombre de séances.
À retenir : Pour vérifier, on se demande : si je double une grandeur, l'autre double-t-elle aussi ?
Les procédures : linéarité, retour à l’unité, coefficient
Linéarité : on multiplie ou on divise les deux grandeurs par le même nombre, ou on additionne des colonnes connues. Retour à l'unité : on calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie. Coefficient de proportionnalité : on multiplie toujours par le même nombre pour passer de la première grandeur à la seconde.
Exemple
Une recette pour 4 personnes demande 60 cL de lait. Pour 2 personnes, on prend la moitié : 30 cL. Pour 8 personnes, le double : 120 cL. Pour 6 personnes, 4 + 2 personnes, donc 60 + 30 = 90 cL. Retour à l'unité : 5 stylos coûtent 4 €, donc 1 stylo coûte 4 ÷ 5 = 0,80 €, et 7 stylos coûtent 0,80 × 7 = 5,60 €.
À retenir : On choisit la procédure la plus simple selon les nombres de l'énoncé.
Le coefficient de proportionnalité en contexte
Dans la vie courante, le coefficient de proportionnalité a souvent un nom. Le prix unitaire est le prix d'une unité (d'un kilogramme, d'un objet). La vitesse moyenne est la distance parcourue en une heure. L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs réelles aux longueurs du plan, exprimées dans la même unité ; pour une échelle de 1/25 000, on retrouve la longueur réelle en multipliant la longueur du plan par 25 000.
Exemple
Prix unitaire : 4,3 kg de tomates à 3,20 € le kilogramme coûtent 3,20 × 4,3 = 13,76 €. Vitesse moyenne : une voiture qui roule à 60 km/h parcourt 60 × 1,5 = 90 km en 1,5 h ; une voiture qui parcourt 150 km en 2 h roule à 150 ÷ 2 = 75 km/h en moyenne. Échelle : sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m ; 4 cm représentent 4 × 250 = 1 000 m, soit 1 km.
À retenir : Prix unitaire, vitesse moyenne et échelle sont des coefficients de proportionnalité.
Calculer et appliquer des proportions et des pourcentages
Une proportion compare une partie à un tout : « 6 élèves sur 24 » correspond au quotient 6 ÷ 24. Un pourcentage est une proportion écrite sur 100 : 30 % signifie 30 sur 100. Pour appliquer un pourcentage à une quantité, on multiplie la quantité par le pourcentage puis on divise par 100.
Exemple
Élection des délégués, 24 votants : Alexis 6 voix, Chloé 12, Salma 3, Djibril 3. Alexis : 6 ÷ 24 = 0,25, soit 25 %. Chloé : 12 ÷ 24 = 0,5, soit 50 %. Salma et Djibril : 3 ÷ 24 = 0,125, soit 12,5 % chacun. Total : 25 + 50 + 12,5 + 12,5 = 100 %. Appliquer : 30 % de 80 € valent 80 × 30 ÷ 100 = 24 €.
À retenir : Pourcentage d'une partie = partie ÷ total × 100 ; les pourcentages de toutes les parties font 100 %.
Prendre 1 %, 10 % ou 50 % d’un nombre
Prendre 50 % d'un nombre, c'est prendre sa moitié. Prendre 10 %, c'est le diviser par 10. Prendre 1 %, c'est le diviser par 100. En combinant ces résultats, on calcule de tête beaucoup d'autres pourcentages.
Exemple
Pour 240 : 50 % font 120, 10 % font 24, 1 % fait 2,4. Alors 20 % font 2 × 24 = 48, et 5 % font la moitié de 10 %, soit 12. Une réduction de 10 % sur un article à 45 € fait 4,50 € ; l'article coûte alors 45 − 4,50 = 40,50 €.
À retenir : 50 % = la moitié ; 10 % = divisé par 10 ; 1 % = divisé par 100.
Représenter une situation de proportionnalité
On peut représenter une situation de proportionnalité par un tableau : on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le coefficient. On peut aussi la représenter par un graphique : on place un point pour chaque colonne du tableau. Pour une situation de proportionnalité, les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère.
Exemple
Tomates à 3,20 € le kilogramme. Tableau : 1 kg coûte 3,20 € ; 2 kg, 6,40 € ; 3 kg, 9,60 € ; 4 kg, 12,80 €. On passe de la masse au prix en multipliant par 3,20. Dans un repère, avec la masse en abscisse et le prix en ordonnée, les points (1 ; 3,2), (2 ; 6,4), (3 ; 9,6) et (4 ; 12,8) sont alignés avec l'origine (0 ; 0).
À retenir : Tableau : même coefficient dans chaque colonne. Graphique : points alignés avec l'origine.
Reconnaître un nuage de points de proportionnalité
Un nuage de points traduit une situation de proportionnalité seulement si deux conditions sont réunies : les points sont alignés, et la droite qui les porte passe par l'origine du repère. Si les points ne sont pas alignés, ou s'ils sont alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine, il n'y a pas proportionnalité.
Exemple
Les points (1 ; 3), (2 ; 6) et (4 ; 12) sont alignés avec l'origine : proportionnalité (on multiplie par 3). Les points (1 ; 12), (2 ; 14) et (3 ; 16) du club de sport sont alignés, mais sur une droite qui ne passe pas par l'origine : pas de proportionnalité. Les points (1 ; 2), (2 ; 5) et (3 ; 7) ne sont pas alignés : pas de proportionnalité.
À retenir : Alignés ET passant par l'origine : les deux conditions sont nécessaires.
Les points clés
- Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
- Procédures : linéarité, retour à l'unité, coefficient de proportionnalité.
- Prix unitaire, vitesse moyenne et échelle sont des coefficients de proportionnalité.
- Pourcentage d'une partie = partie ÷ total × 100 ; appliquer p % : multiplier par p puis diviser par 100.
- 50 % = la moitié ; 10 % = divisé par 10 ; 1 % = divisé par 100.
- Graphiquement, la proportionnalité donne des points alignés avec l'origine du repère.
L'essentiel
Une situation est de proportionnalité quand on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient. On la reconnaît dans un tableau (même coefficient partout) ou sur un graphique (points alignés avec l'origine), et on la résout par linéarité, par retour à l'unité ou avec le coefficient. Un pourcentage est une proportion écrite sur 100.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Au cinéma, 2 places coûtent 13 €, 3 places coûtent 19,50 € et 5 places coûtent 32,50 €. a) Le prix est-il proportionnel au nombre de places ? Justifie. b) Quel est le coefficient de proportionnalité, et que représente-t-il ? c) Combien coûtent 8 places ? d) Combien de places peut-on acheter avec 45,50 € ? e) Comment seraient placés les points de ce tableau dans un repère ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
a) Une veste coûte 60 €. Pendant les soldes, son prix baisse de 30 %. Calcule le montant de la réduction, puis le nouveau prix. b) Dans une classe de 25 élèves, 9 élèves sont externes. Quel pourcentage des élèves de la classe sont externes ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →