Représentation de l’espace en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de représentation de l’espace pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Solides de 5e : cube, pavé droit, prisme droit, cylindre de révolution
- Représenter un solide en perspective cavalière
- Mettre en relation différentes représentations en perspective cavalière d'un même solide
- Relier perspective cavalière et patron (pavé, prisme droit, cylindre de révolution)
- Reconnaître un patron du cube
- Vues (de dessus, de face…) et dénombrement de cubes dans un empilement
Les solides de 5e : cube, pavé droit, prisme droit, cylindre
Un pavé droit a 6 faces rectangulaires, 12 arêtes et 8 sommets. Un cube est un pavé droit dont les 6 faces sont des carrés identiques. Un prisme droit a deux bases qui sont des polygones identiques et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires. Un cylindre de révolution a deux bases qui sont des disques de même rayon, reliées par une surface courbe.
Exemple
Une boîte à chaussures est un pavé droit, un dé à jouer est un cube, une boîte de conserve est un cylindre. Un prisme droit à base triangulaire (comme certaines barres de chocolat) a 5 faces (2 triangles et 3 rectangles), 9 arêtes et 6 sommets.
À retenir : Dans un prisme droit, le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés de la base.
Représenter un solide en perspective cavalière
La perspective cavalière permet de dessiner un solide sur une feuille plane. Règles : la face avant est dessinée en vraie grandeur ; les arêtes qui partent vers l'arrière (les fuyantes) sont tracées en oblique, avec le même angle, souvent 45°, et leur longueur est multipliée par un même coefficient de réduction, souvent 0,5 ; des arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin ; les arêtes cachées sont en pointillés.
Exemple
Pour un pavé droit de 6 cm de long, 4 cm de haut et 3 cm de profondeur : on trace la face avant, un rectangle de 6 cm sur 4 cm ; les fuyantes, obliques à 45°, mesurent 3 × 0,5 = 1,5 cm sur le dessin ; les 3 arêtes cachées sont en pointillés.
À retenir : Sur un dessin en perspective cavalière, seules les faces avant et arrière (parallèles à la feuille) gardent leurs vraies longueurs et leurs angles droits.
Mettre en relation plusieurs perspectives d'un même solide
Un même solide peut être dessiné de plusieurs façons en perspective cavalière : en choisissant une autre face comme face avant, ou en faisant partir les fuyantes vers la droite ou vers la gauche, vers le haut ou vers le bas. Pour reconnaître le même solide, on compare ses vraies dimensions, et non l'aspect du dessin.
Exemple
Un pavé droit de dimensions 5 cm, 3 cm et 2 cm peut avoir pour face avant un rectangle de 5 cm sur 3 cm, de 5 cm sur 2 cm ou de 3 cm sur 2 cm. Les trois dessins sont différents, mais ils représentent le même pavé. Une arête visible sur un dessin peut être cachée, donc en pointillés, sur un autre.
À retenir : Deux dessins représentent le même solide si l'on retrouve les mêmes faces et les mêmes vraies dimensions.
Relier perspective cavalière et patron
Un patron est une figure plane d'un seul morceau qui, une fois pliée, forme le solide sans que deux faces se chevauchent. Le patron d'un pavé droit comporte 6 rectangles identiques deux à deux. Le patron d'un prisme droit comporte les 2 bases et autant de rectangles que la base a de côtés ; une dimension de chaque rectangle est la hauteur du prisme, l'autre est un côté de la base. Le patron d'un cylindre comporte 2 disques et un rectangle : la largeur du rectangle est la hauteur du cylindre, et sa longueur doit faire exactement le tour d'un disque, puisque ce rectangle s'enroule autour de lui.
Exemple
Le patron d'un pavé de 5 cm sur 3 cm sur 2 cm contient 2 rectangles de 5 cm sur 3 cm, 2 de 5 cm sur 2 cm et 2 de 3 cm sur 2 cm. Pour un prisme droit de hauteur 6 cm dont la base est un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, le patron contient ces 2 triangles et 3 rectangles : 3 cm sur 6 cm, 4 cm sur 6 cm et 5 cm sur 6 cm.
À retenir : Sur le patron, deux arêtes qui se collent l'une à l'autre doivent avoir la même longueur.
Reconnaître un patron du cube
Un patron du cube est formé de 6 carrés identiques reliés par leurs côtés. Il existe 11 patrons différents du cube. Pour éliminer une figure, on vérifie deux choses : elle ne doit pas contenir plus de 4 carrés alignés, ni un bloc de 2 carrés sur 2 carrés (quatre carrés autour d'un même point ne peuvent pas se replier en cube). On imagine ensuite le pliage : deux carrés ne doivent jamais arriver sur la même face.
Exemple
La « croix » formée de 4 carrés en colonne, avec un carré à gauche et un carré à droite du deuxième carré, est un patron du cube. Un rectangle de 2 carrés sur 3 carrés n'en est pas un : il contient un bloc de 2 carrés sur 2.
À retenir : 6 carrés, pas plus de 4 alignés, jamais de bloc 2 sur 2, et on imagine le pliage pour conclure.
Vues et dénombrement de cubes dans un empilement
Un empilement de cubes peut être regardé de dessus, de face ou de côté : chaque vue est une figure plane faite de carrés. Pour compter les cubes, on compte colonne par colonne, sans oublier les cubes cachés qui soutiennent ceux du dessus. On peut noter sur la vue de dessus le nombre de cubes de chaque colonne.
Exemple
Vu de dessus, un empilement occupe 2 rangées de 3 cases. Rangée du fond, de gauche à droite : 3, 2 et 1 cubes. Rangée de devant : 1, 1 et 1 cube. Il y a 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 cubes. La vue de dessus montre 6 carrés. La vue de face montre la plus haute colonne de chaque file : 3 carrés à gauche, 2 au milieu et 1 à droite, en escalier.
À retenir : Dans un empilement, un cube posé en hauteur repose toujours sur des cubes, même s'ils sont cachés.
Les points clés
- Pavé droit : 6 faces rectangulaires, 12 arêtes, 8 sommets ; le cube a 6 faces carrées.
- Prisme droit : 2 bases polygonales identiques et parallèles, et des faces latérales rectangulaires.
- Cylindre de révolution : 2 disques de même rayon et une surface courbe.
- Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, fuyantes obliques et réduites, arêtes cachées en pointillés.
- Un patron se plie en solide sans chevauchement ; les arêtes collées ont la même longueur.
- Un patron du cube : 6 carrés, pas plus de 4 alignés, pas de bloc de 2 sur 2.
- Pour compter les cubes d'un empilement, on compte colonne par colonne, cubes cachés compris.
L'essentiel
Un solide se représente de plusieurs façons : en perspective cavalière (face avant en vraie grandeur, fuyantes obliques et réduites, arêtes cachées en pointillés), par un patron (figure plane qui se plie en solide) ou par des vues (dessus, face, côté). Passer d'une représentation à une autre demande de retrouver les vraies dimensions des faces.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un pavé droit mesure 8 cm de long, 5 cm de haut et 3 cm de profondeur. a) Combien a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ? b) Donne les dimensions des 6 rectangles de son patron. c) On le dessine en perspective cavalière avec une face avant de 8 cm sur 5 cm, des fuyantes à 45° et un coefficient de réduction de 0,5. Quelle longueur mesurent les fuyantes sur le dessin ? Combien d'arêtes seront en pointillés ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Vu de dessus, un empilement de cubes occupe un carré de 2 cases sur 2. Au fond à gauche, la colonne compte 3 cubes ; au fond à droite, 2 cubes ; devant à gauche, 2 cubes ; devant à droite, 1 cube. a) Combien y a-t-il de cubes ? b) Décris la vue de dessus et la vue de face. c) Combien de cubes faut-il ajouter pour obtenir un pavé droit de 2 cubes sur 2 cubes et de 3 cubes de haut ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →