Statistiques et introduction aux probabilités en 5ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistiques et introduction aux probabilités pour les élèves de 5ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Recueillir et organiser des données
- Effectifs et fréquences
- Diagrammes et graphiques
- Choisir une représentation adaptée
- La moyenne d'une série
- Vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issue, évènement
- L'échelle de probabilité
- Attribuer des probabilités en situation d'équiprobabilité
- Répéter une expérience et noter les résultats
Ce que tu vas réviser
- Recueillir et organiser des données dans un tableau
- Effectifs et fréquences (décimale, fraction, pourcentage)
- Diagramme en barres, diagramme circulaire, graphique cartésien (papier ou tableur)
- Choisir une représentation adaptée
- Calculer et interpréter la moyenne simple d'une série
- Vocabulaire : expérience aléatoire, issue, évènement
- Échelle de probabilité : de l'évènement impossible à l'évènement certain
- Attribuer des probabilités en situation d'équiprobabilité
- Répéter une expérience aléatoire et noter effectifs et fréquences observés
Recueillir et organiser des données
Une enquête permet de recueillir des données : on note la réponse de chaque personne interrogée, c'est la liste des données brutes. Pour y voir clair, on les organise dans un tableau : pour chaque valeur, on compte combien de fois elle apparaît. Ce nombre s'appelle l'effectif, et la somme de tous les effectifs est l'effectif total.
Exemple
On demande à 20 élèves combien ils ont de frères et sœurs. Réponses : 0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 1. Tableau : 0 frère ou sœur, effectif 5 ; 1, effectif 9 ; 2, effectif 4 ; 3, effectif 1 ; 4, effectif 1. Effectif total : 5 + 9 + 4 + 1 + 1 = 20.
À retenir : On vérifie toujours que la somme des effectifs est égale au nombre de données recueillies.
Effectifs et fréquences
La fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total. On peut l'écrire sous forme de fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut 1, soit 100 %.
Exemple
Dans l'enquête sur les frères et sœurs, la valeur 1 a un effectif de 9 sur 20 : sa fréquence est $\frac{9}{20}$ = 0,45 = 45 %. La valeur 0 a une fréquence de $\frac{5}{20}$ = 0,25 = 25 %. La valeur 2 : $\frac{4}{20}$ = 0,2 = 20 %. Les valeurs 3 et 4 : $\frac{1}{20}$ = 0,05 = 5 % chacune. Total : 45 + 25 + 20 + 5 + 5 = 100 %.
À retenir : Fréquence = effectif ÷ effectif total.
Diagrammes et graphiques
Dans un diagramme en barres, chaque valeur a une barre dont la hauteur est proportionnelle à son effectif. Dans un diagramme circulaire, chaque valeur a un secteur dont l'angle est proportionnel à sa fréquence : angle = fréquence × 360°. Un graphique cartésien relie des points placés dans un repère, par exemple pour suivre une grandeur au fil du temps. Ces représentations se font sur papier ou avec un tableur-grapheur.
Exemple
Diagramme circulaire de l'enquête : valeur 0, 0,25 × 360° = 90° ; valeur 1, 0,45 × 360° = 162° ; valeur 2, 0,2 × 360° = 72° ; valeurs 3 et 4, 0,05 × 360° = 18° chacune. Total : 90 + 162 + 72 + 18 + 18 = 360°. Pour suivre la température relevée toutes les heures d'une journée, on utilise un graphique cartésien : l'heure en abscisse, la température en ordonnée.
À retenir : Dans un diagramme circulaire, les angles des secteurs font 360° au total.
Choisir une représentation adaptée
On choisit la représentation selon ce que l'on veut montrer. Le diagramme en barres sert à comparer des effectifs entre eux. Le diagramme circulaire montre comment un tout se partage en parts. Le graphique cartésien montre l'évolution d'une grandeur, souvent au cours du temps.
Exemple
Pour comparer le nombre d'élèves qui pratiquent chaque sport : diagramme en barres. Pour montrer quelle part du budget d'une famille va au logement, à la nourriture et aux loisirs : diagramme circulaire. Pour montrer l'évolution de la taille d'une plante semaine après semaine : graphique cartésien.
À retenir : Comparer : barres. Partager un tout : circulaire. Évolution : graphique cartésien.
La moyenne d'une série
La moyenne d'une série de données est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. C'est la valeur que chaque donnée aurait si toutes étaient égales. La moyenne n'est pas forcément une des valeurs de la série.
Exemple
Les notes de Julie sont 12, 15, 9 et 14. Somme : 12 + 15 + 9 + 14 = 50. Moyenne : 50 ÷ 4 = 12,5. Si Julie avait eu quatre fois la même note, avec le même total de 50 points, cette note aurait été 12,5. Aucune de ses notes ne vaut 12,5.
À retenir : Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs.
Vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issue, évènement
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. Chaque résultat possible s'appelle une issue. Un évènement est une condition qui est réalisée par une ou plusieurs issues.
Exemple
Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire. Ses issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L'évènement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6. L'évènement « obtenir plus de 4 » est réalisé par les issues 5 et 6.
À retenir : Issue : un résultat possible. Évènement : une condition réalisée par une ou plusieurs issues.
L'échelle de probabilité
La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre 0 et 1, que l'on peut écrire sous forme de fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. Un évènement impossible a une probabilité de 0. Un évènement certain a une probabilité de 1. Plus la probabilité est proche de 1, plus l'évènement a de chances de se réaliser. « Une chance sur quatre » correspond à la probabilité $\frac{1}{4}$ = 0,25 = 25 %.
Exemple
Avec un dé à six faces : obtenir 7 est impossible (probabilité 0) ; obtenir un nombre entre 1 et 6 est certain (probabilité 1) ; obtenir 3 a une probabilité de $\frac{1}{6}$. Obtenir pile en lançant une pièce équilibrée : $\frac{1}{2}$ = 0,5 = 50 %. Obtenir 10 fois de suite la valeur 1 avec un dé : très proche de 0, mais pas impossible. Ne pas gagner au loto : très proche de 1.
À retenir : 0 = impossible ; 1 = certain ; toutes les autres probabilités sont entre les deux.
Attribuer des probabilités en situation d'équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce équilibrée, tirage au hasard de boules identiques au toucher), on parle d'équiprobabilité. La probabilité d'un évènement est alors le nombre d'issues qui le réalisent divisé par le nombre total d'issues.
Exemple
Une urne contient 10 boules identiques au toucher : 3 rouges, 5 bleues et 2 vertes. On tire une boule au hasard. P(rouge) = $\frac{3}{10}$ = 0,3 = 30 %. P(verte) = $\frac{2}{10}$ = 0,2 = 20 %. P(pas bleue) : 3 + 2 = 5 boules ne sont pas bleues, donc $\frac{5}{10}$ = 0,5 = 50 %. Avec un dé équilibré, P(nombre pair) = $\frac{3}{6}$ = 0,5.
À retenir : En équiprobabilité : probabilité = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues.
Répéter une expérience et noter les résultats
On peut réaliser réellement une expérience aléatoire plusieurs fois et noter ce qui se passe dans un tableau : pour chaque issue, on écrit l'effectif observé (le nombre de fois où elle est sortie) et la fréquence observée (effectif ÷ nombre de lancers). Si l'on recommence une nouvelle série, les résultats changent en général : c'est l'effet du hasard.
Exemple
On lance une pièce 50 fois et on obtient 27 fois pile et 23 fois face. Fréquence de pile : $\frac{27}{50}$ = 0,54 = 54 %. Fréquence de face : $\frac{23}{50}$ = 0,46 = 46 %. Une autre série de 50 lancers donnera probablement d'autres effectifs.
À retenir : Les fréquences observées se calculent comme en statistiques : effectif observé ÷ nombre total d'essais.
Les points clés
- Effectif : nombre de fois qu'une valeur apparaît ; la somme des effectifs est l'effectif total.
- Fréquence = effectif ÷ effectif total, en fraction, en décimal ou en pourcentage ; les fréquences font 100 % au total.
- Diagramme circulaire : angle d'un secteur = fréquence × 360°.
- Barres pour comparer, circulaire pour partager un tout, graphique cartésien pour une évolution.
- Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs.
- Expérience aléatoire, issue, évènement : le vocabulaire de base des probabilités.
- Une probabilité est entre 0 (impossible) et 1 (certain).
- En équiprobabilité : probabilité = issues favorables ÷ issues possibles.
L'essentiel
En statistiques, on organise des données dans un tableau d'effectifs et de fréquences, on les représente par le graphique adapté à ce que l'on veut montrer, et on les résume par leur moyenne. En probabilités, on décrit une expérience aléatoire par ses issues et ses évènements, et, quand toutes les issues ont la même chance, la probabilité d'un évènement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues possibles.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Voici les notes de 10 élèves à un contrôle : 8, 12, 15, 12, 10, 14, 12, 9, 16, 12. a) Fais le tableau des effectifs. b) Calcule la fréquence de la note 12, en écriture décimale et en pourcentage. c) Calcule la moyenne de la classe. d) Dans un diagramme circulaire des notes, quel angle aurait le secteur de la note 12 ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un sac contient 20 bonbons identiques au toucher : 8 à la fraise, 7 au citron et 5 à la menthe. On en prend un au hasard, sans regarder. a) Quelles sont les issues possibles de cette expérience ? b) Calcule la probabilité d'obtenir un bonbon à la fraise, puis à la menthe (sous forme de fraction, en écriture décimale et en pourcentage). c) Calcule la probabilité de ne pas obtenir un bonbon au citron. d) Quelle est la probabilité d'obtenir un bonbon au chocolat ? Comment s'appelle cet évènement ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →