Vecteurs du plan en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de vecteurs du plan pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Représentants d’un vecteur
- Vecteurs égaux, opposés, colinéaires, vecteur nul
- Somme de deux vecteurs
- Produit d’un vecteur par un nombre réel
- Coordonnées d’un vecteur dans un repère orthogonal
Représentants d'un vecteur
Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Un représentant d'un vecteur est une flèche qu'on peut dessiner n'importe où dans le plan, du moment qu'elle a les mêmes caractéristiques.
Exemple
Si tu dois aller 3 km vers le nord, tu peux partir de chez toi, de l'école ou de n'importe quel endroit : le trajet reste le même. C'est comme ça pour un vecteur : on peut le représenter par plusieurs flèches différentes.
À retenir : Un même vecteur peut avoir plusieurs représentants : tous les représentants d'un vecteur sont parallèles, de même longueur et de même sens.
Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont exactement la même direction, le même sens et la même longueur. Peu importe où on les dessine, s'ils satisfont ces trois conditions, ils sont égaux.
Exemple
Imagine deux voitures qui se déplacent de 5 km vers l'est : elles font exactement le même trajet. Les vecteurs qui les décrivent sont égaux.
À retenir : $\vec{AB} = \vec{CD}$ signifie que ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres), éventuellement aplati si les quatre points sont alignés.
Vecteurs opposés
Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires. Le vecteur opposé à $\vec{u}$ se note $-\vec{u}$.
Exemple
Si tu dois aller 3 km vers le nord, le vecteur opposé te fait revenir : tu vas 3 km vers le sud. C'est comme un aller-retour.
À retenir : $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$ : les vecteurs opposés s'annulent toujours.
Vecteur nul
Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est un vecteur de longueur zéro. Il n'a ni direction ni sens réel. C'est l'absence de déplacement.
Exemple
Quand tu restes assis sur ta chaise sans bouger, ton vecteur de déplacement est le vecteur nul. Tu n'as parcouru aucune distance.
À retenir : Pour n'importe quel point A, $\vec{AA} = \vec{0}$ : rester au même endroit donne le vecteur nul.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (même si leur sens ou leur longueur diffèrent). Graphiquement, leurs représentants sont parallèles ou sur la même droite.
Exemple
Sur une route droite, une voiture qui va à 60 km/h et une autre à 100 km/h dans la même direction ont des vecteurs colinéaires : même direction, mais vitesses différentes.
À retenir : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$.
Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs se construit en plaçant le deuxième vecteur à la fin du premier. Le vecteur résultant part du début du premier et arrive à la fin du second.
Exemple
Tu marches 2 km vers l'est, puis 3 km vers le nord. Ton déplacement total est la somme de ces deux vecteurs : c'est la ligne directe de ton point de départ à ton point d'arrivée.
À retenir : Méthode du parallélogramme ou de la chaîne : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (on « enchaîne » les vecteurs).
Produit d'un vecteur par un réel
Multiplier un vecteur $\vec{u}$ par un nombre réel $k$ donne un nouveau vecteur $k\vec{u}$ qui a la même direction, mais une longueur multipliée par $|k|$ et un sens identique (ou opposé si $k < 0$).
Exemple
Si tu dois parcourir une distance en 1 heure, la parcourir en 2 fois moins de temps revient à doubler ta vitesse : $2\vec{v}$. Si tu la parcours en sens inverse, tu multiplies par -1 : $-\vec{v}$.
À retenir : $k\vec{u}$ multiplie la longueur de $\vec{u}$ par $|k|$ ; si $k < 0$, le sens change.
Coordonnées d'un vecteur dans un repère
Dans un repère orthogonal, tout vecteur est défini par deux nombres : ses coordonnées $(x ; y)$. La première indique le déplacement horizontal, la seconde le déplacement vertical.
Exemple
Sur un jeu vidéo avec un repère, si ton personnage se déplace de 3 pixels à droite et 2 pixels vers le haut, son vecteur de déplacement a pour coordonnées $(3 ; 2)$.
À retenir : Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, alors $\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A)$.
Les points clés
- Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur ; il existe plusieurs représentants du même vecteur.
- Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées ; deux vecteurs opposés ont des coordonnées opposées.
- Vecteurs colinéaires : $\vec{v} = k\vec{u}$ pour un réel $k$ (avec $\vec{u} \neq \vec{0}$) ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- Somme de vecteurs : $\vec{u} + \vec{v}$ s'additionne coordonnée par coordonnée : $(u_x + v_x ; u_y + v_y)$.
- Produit par un réel : $k\vec{u} = (ku_x ; ku_y)$.
- Coordonnées : $\vec{AB} = (x_B - x_A ; y_B - y_A)$ ; dans un repère orthonormé, la longueur est $||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
L'essentiel
Les vecteurs se manipulent par leurs coordonnées : addition, multiplication, égalité, colinéarité — tout se calcule sur les nombres.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Dans un repère orthogonal, on a $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 3)$ et $C(7 ; 4)$. Calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$. Vérifie que $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $\vec{u} = (2 ; -1)$ et $\vec{v} = (-3 ; 4)$. Calcule $\vec{u} + \vec{v}$ et $2\vec{u} - \vec{v}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →