Suites numériques en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de suites numériques pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Suites arithmétiques : terme de rang n, somme des n premiers termes
- Suites géométriques à termes positifs : terme de rang n, somme
- Moyenne arithmétique et moyenne géométrique
- Notation Σ
- Croissance linéaire et croissance exponentielle
- Intérêts composés avec versements réguliers
Suites arithmétiques : terme de rang n
Une suite arithmétique est une suite où on ajoute toujours le même nombre (appelé raison) pour passer d'un terme au suivant. C'est une progression régulière et prévisible.
Exemple
Ton salaire augmente de 100 euros chaque mois : 1500, 1600, 1700, 1800... C'est une suite arithmétique de raison 100.
À retenir : Le terme de rang n s'écrit $u_n = u_0 + n \times r$ où $r$ est la raison.
Suites arithmétiques : somme des n premiers termes
Au lieu d'additionner un à un tous les termes, on utilise une formule pour calculer rapidement leur somme totale.
Exemple
Tu économises 50 euros la 1re semaine, puis 5 euros de plus chaque semaine (50, 55, 60...) pendant 10 semaines : c'est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison 5. Au lieu d'additionner les 10 montants un à un, la formule donne $S_{10} = \frac{10(2 \times 50 + 9 \times 5)}{2} = \frac{10 \times 145}{2} = 725$ euros.
À retenir : La somme des n premiers termes est $S_n = \frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2}$ ou $S_n = \frac{n(2u_0 + (n-1)r)}{2}$.
Suites géométriques : terme de rang n
Une suite géométrique est une suite où on multiplie toujours par le même nombre (appelé raison) pour passer d'un terme au suivant. La croissance s'accélère ou ralentit.
Exemple
Un virus se multiplie par 2 chaque heure : 1, 2, 4, 8, 16... C'est une suite géométrique de raison 2.
À retenir : Le terme de rang n s'écrit $u_n = u_0 \times q^n$ où $q$ est la raison (positive).
Suites géométriques : somme des termes positifs
Comme pour les suites arithmétiques, on calcule la somme de tous les termes avec une formule pour éviter de compter un par un.
Exemple
Un salaire augmente de 5 % chaque année. Après 20 ans, tu veux connaître le total gagné, pas additionner 20 nombres.
À retenir : Si $q \neq 1$, la somme est $S_n = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$.
Moyenne arithmétique et moyenne géométrique
La moyenne arithmétique de deux nombres a et b est $\frac{a + b}{2}$. La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est $\sqrt{a \times b}$ : elle sert notamment à calculer un taux d'évolution moyen à partir de deux coefficients multiplicateurs.
Exemple
Un prix augmente de 10 % une année, puis de 30 % l'année suivante : les coefficients multiplicateurs sont 1,1 et 1,3. Leur moyenne géométrique est $\sqrt{1{,}1 \times 1{,}3} = \sqrt{1{,}43} \approx 1{,}196$ : deux hausses successives d'environ 19,6 % donneraient la même évolution globale. La hausse moyenne est donc d'environ 19,6 % par an, et non de 20 % (moyenne arithmétique des taux).
À retenir : Moyenne arithmétique de a et b : $\frac{a + b}{2}$ ; moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b : $\sqrt{a \times b}$.
Notation sigma et sommes
Le symbole Σ (sigma) est un raccourci pour écrire une somme longue sans écrire tous les termes. Il indique par où on commence et où on finit.
Exemple
Au lieu d'écrire 1+2+3+4+5, on écrit $\sum_{i=1}^{5} i$. C'est plus court et plus lisible.
À retenir : $\sum_{i=a}^{b} u_i$ signifie : additionne tous les termes $u_i$ de l'indice $a$ à l'indice $b$.
Croissance linéaire et exponentielle
La croissance linéaire augmente de façon régulière (addition). La croissance exponentielle s'accélère de plus en plus (multiplication). L'exponentielle explose beaucoup plus vite.
Exemple
Un capital A de 1 000 euros augmente de 5 % par an (il est multiplié par 1,05 : croissance exponentielle) ; un capital B de 1 000 euros augmente de 50 euros par an (croissance linéaire). La première année, les deux valent 1 050 euros, mais après 30 ans A vaut environ 4 322 euros alors que B vaut 2 500 euros.
À retenir : Linéaire : $y = ax + b$ (droite) ; Exponentielle : $y = a \times q^x$ (courbe qui s'accélère).
Intérêts composés avec versements réguliers
Tu places de l'argent régulièrement (chaque mois par exemple) sur un compte qui rapporte des intérêts. Chaque année, tu gagnes des intérêts sur les intérêts précédents.
Exemple
Tu mets 100 euros chaque mois sur un livret qui rapporte des intérêts. Après 10 ans, tu as versé 100 × 12 × 10 = 12 000 euros, et tu as un peu plus que cette somme car les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent eux-mêmes des intérêts.
À retenir : Avec versements réguliers, la somme finale après n périodes est $V_n = V \times \frac{(1+t)^n - 1}{t}$ où $V$ est le versement régulier et $t$ le taux.
Les points clés
- Suite arithmétique : progression régulière ($u_n = u_0 + nr$), suite géométrique : progression exponentielle ($u_n = u_0 \times q^n$)
- Somme suite arithmétique : $S_n = \frac{n(2u_0 + (n-1)r)}{2}$ ; somme suite géométrique : $S_n = u_0 \times \frac{1-q^n}{1-q}$
- Croissance linéaire : addition constante ; croissance exponentielle : multiplication constante (beaucoup plus rapide)
- La notation Σ résume une addition longue : $\sum_{i=1}^{n} u_i = u_1 + u_2 + ... + u_n$
- Intérêts composés : les gains s'ajoutent au capital, puis rapportent eux-mêmes des gains
L'essentiel
Les suites arithmétiques modélisent des croissances régulières (linéaires), les suites géométriques modélisent des croissances exponentielles qui s'accélèrent : comprendre cette différence est la clé du chapitre.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Tu places 500 euros sur un compte qui rapporte 3 % d'intérêts composés par an. À la fin de chaque année, après le versement des intérêts, tu ajoutes 500 euros. Quel sera le montant total au bout de 5 ans, y compris le versement effectué au bout de la 5e année ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 10$ et pour raison $r = 3$. Calcule la somme des 20 premiers termes.
Corrige cet exercice avec le tuteur →