Statistiques descriptives et estimation en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistiques descriptives et estimation pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Série statistique à deux variables quantitatives
- Droite de régression et interpolation
- Intervalle de confiance au niveau 0,95
- Fluctuation d'échantillonnage
- Applications au contrôle qualité et à la gestion
Série statistique à deux variables
C'est l'étude de deux caractères mesurables sur les mêmes individus. Par exemple, on observe la taille et le poids de 50 élèves. On cherche s'il existe une relation entre ces deux variables.
Exemple
Un magasin de sport enregistre le nombre d'heures d'entraînement par semaine et le temps réalisé au 100m pour 20 athlètes. On veut voir si plus on s'entraîne, plus on est rapide.
À retenir : Une série à deux variables se représente par un nuage de points dans un repère, où chaque point a pour coordonnées les deux valeurs observées.
Droite de régression et interpolation
La droite de régression est la meilleure droite qui passe au plus près de tous les points du nuage. Elle permet de prédire une valeur inconnue à partir de l'autre variable. L'interpolation consiste à estimer une valeur entre deux points connus.
Exemple
Un vendeur de glaces note la température chaque jour et le nombre de glaces vendues. Avec la droite de régression, il peut prédire ses ventes si la température est 28°C demain.
À retenir : La droite de régression a pour équation $y = ax + b$ où $a = \frac{\text{cov}(x,y)}{V(x)}$ et elle passe toujours par le point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$.
Intervalle de confiance au niveau 0,95
C'est une plage de valeurs dans laquelle on est sûr à 95% de trouver le vrai paramètre de la population. On l'utilise quand on ne peut étudier qu'un échantillon et pas toute la population.
Exemple
Un sondage auprès de 1000 personnes montre que 52% veulent changer de gouvernement. L'intervalle de confiance à 95% sera environ [49% ; 55%]. On est sûr à 95% que le vrai pourcentage dans toute la population est dans cet intervalle.
À retenir : L'intervalle de confiance au niveau 0,95 pour une proportion est $\left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]$ où $p$ est la fréquence observée et $n$ la taille de l'échantillon.
Fluctuation d'échantillonnage
C'est le fait que chaque échantillon prélevé d'une population donne des résultats légèrement différents. Si on interroge 100 personnes deux fois, on n'aura pas exactement le même pourcentage les deux fois.
Exemple
Un fabricant de pièces automobiles teste 50 pièces chaque jour. Le pourcentage de pièces défectueuses varie : 2% lundi, 3% mardi, 1,5% mercredi. C'est la fluctuation d'échantillonnage.
À retenir : La fluctuation d'échantillonnage est normale et prévisible : plus l'échantillon est grand, plus la fluctuation diminue.
Applications au contrôle qualité
On utilise les statistiques pour vérifier que les produits fabriqués respectent les normes. On prélève régulièrement des échantillons et on teste si le taux de défaut reste acceptable.
Exemple
Une usine fabrique des téléphones. Chaque jour, on teste 100 téléphones. Si plus de 5% sont défectueux, on arrête la production pour vérifier les machines.
À retenir : En contrôle qualité, on fixe une limite d'acceptation basée sur l'intervalle de confiance : si les résultats sortent de cet intervalle, on agit.
Applications à la gestion
Les entreprises utilisent les statistiques pour prévoir les ventes, gérer les stocks et prendre des décisions. La droite de régression permet de faire des prévisions fiables.
Exemple
Un restaurant note chaque jour le nombre de clients et le chiffre d'affaires. Avec la droite de régression, il peut estimer ses revenus futurs et commander la bonne quantité de nourriture.
À retenir : La gestion moderne repose sur l'analyse des données passées pour anticiper l'avenir et optimiser les ressources.
Les points clés
- Un nuage de points visualise la relation entre deux variables quantitatives
- La droite de régression passe par le point moyen et minimise les écarts aux points observés
- L'intervalle de confiance à 95% donne une plage fiable pour estimer un paramètre inconnu
- La fluctuation d'échantillonnage diminue quand la taille de l'échantillon augmente
- Le contrôle qualité utilise les intervalles de confiance pour décider si la production est acceptable
- La prévision par régression linéaire est fiable seulement si la relation est vraiment linéaire
L'essentiel
Les statistiques permettent de prendre des décisions fiables en entreprise : on estime les paramètres inconnus avec un intervalle de confiance, on prédit les valeurs futures avec la droite de régression, et on contrôle la qualité en surveillant la fluctuation d'échantillonnage.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un producteur de fruits mesure le poids de pommes. Expliquez comment construire un intervalle de confiance pour estimer la production moyenne.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un économiste étudie la relation entre le revenu (x) et les dépenses en loisirs (y). Représentez graphiquement et analysez la droite de régression.
Corrige cet exercice avec le tuteur →