Statistiques à deux variables en Terminale
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistiques à deux variables pour les élèves de Terminale. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Série statistique à deux variables quantitatives
- Droite de régression et interpolation
- Applications au contrôle qualité et à la gestion
Série statistique à deux variables
C'est un ensemble de données où chaque individu a deux valeurs mesurées. Par exemple, pour chaque élève, on note sa taille ET son poids. On cherche à savoir s'il existe une relation entre les deux variables et, si oui, à la décrire.
Exemple
Un club de fitness note pour ses membres : la durée d'entraînement par semaine (en heures) et la masse de muscle gagnée (en kg). Chaque personne apporte un couple de valeurs.
À retenir : Une série à deux variables associe à chaque observation deux mesures différentes, qu'on note généralement (x ; y).
Nuage de points et point moyen
Le nuage de points est le graphique où l'on place chaque couple (x ; y) dans un repère. Sa forme indique s'il existe une tendance : si le nuage a une forme allongée, proche d'une droite, un ajustement affine est envisageable. Le point moyen G a pour coordonnées $(\bar{x} ; \bar{y})$, moyennes des deux séries.
Exemple
Pour les élèves et leurs notes : si on place sur un graphique le temps d'étude (axe horizontal) et la note obtenue (axe vertical), on obtient un nuage. S'il monte de gauche à droite, les deux variables ont tendance à augmenter ensemble.
À retenir : Avant tout ajustement, on trace le nuage de points : c'est sa forme allongée qui justifie de chercher une droite.
Droite de régression linéaire
C'est la droite qui passe au plus près des points du nuage (au sens des moindres carrés). Elle résume la relation entre les deux variables par une équation de la forme $y = ax + b$. On obtient cette équation avec un outil numérique : calculatrice (mode statistiques, régression linéaire) ou tableur (courbe de tendance linéaire avec affichage de l'équation).
Exemple
Un boulanger veut prévoir le nombre de clients en fonction de la température extérieure. Il saisit ses relevés de plusieurs jours dans un tableur, trace le nuage de points et affiche la courbe de tendance linéaire et son équation pour faire ses prévisions.
À retenir : L'équation $y = ax + b$ de la droite de régression se lit sur la calculatrice ou le tableur ; aucun calcul de a et b à la main n'est attendu. Cette droite passe par le point moyen G.
Qualité de l'ajustement : coefficient de détermination
Le coefficient de détermination, noté $R^2$, est donné par la calculatrice ou le tableur en même temps que l'équation de la droite. Il est compris entre 0 et 1 : plus il est proche de 1, plus les points sont proches de la droite et plus l'ajustement affine est pertinent. Certaines calculatrices affichent aussi le coefficient de corrélation r, avec $R^2 = r^2$.
Exemple
Pour les ventes d'un magasin et le nombre de clients, on peut obtenir $R^2 = 0{,}95$ : l'ajustement affine est pertinent. Pour la pointure des chaussures et la note en maths, on obtiendra $R^2$ proche de 0 : aucune droite ne résume ce nuage.
À retenir : $R^2$ proche de 1 : ajustement affine pertinent ; $R^2$ proche de 0 : la droite ne permet pas de prévoir. Une relation forte ne prouve pas un lien de cause à effet.
Interpolation et extrapolation
L'interpolation prédit une valeur ENTRE deux points connus (on reste dans la zone observée). L'extrapolation prédit une valeur EN DEHORS de la zone observée (on prolonge la droite). L'extrapolation est moins fiable.
Exemple
Un vendeur a relevé ses ventes en 2020, 2021, 2023 et 2024, mais pas en 2022. Estimer les ventes de 2022 avec la droite, c'est interpoler : on reste entre les données. Extrapoler en 2030 c'est aller au-delà : c'est plus risqué car la tendance peut changer.
À retenir : Utiliser la droite de régression pour estimer une valeur manquante dans les données observées (interpolation) est plus prudent qu'extrapoler loin.
Ajustements non affines et changement de variable
En terminale, les ajustements ne sont pas uniquement affines : quand le nuage de points n'a pas une forme allongée le long d'une droite (croissance de plus en plus rapide, par exemple), on choisit un autre modèle avec l'outil numérique (courbe de tendance exponentielle, puissance…). On peut aussi se ramener à un ajustement affine grâce à un changement de variable indiqué par l'énoncé, par exemple $z = \log(y)$ ou $z = \frac{1}{x}$ : on calcule les nouvelles valeurs, on fait l'ajustement affine entre les nouvelles variables, et c'est le coefficient de détermination $R^2$ calculé entre ces nouvelles variables qui indique la pertinence du modèle.
Exemple
Pour $x = 0, 1, 2, 3, 4$, on relève $y = 10, 20, 40, 80, 160$ : $y$ double à chaque pas, le nuage n'est pas rectiligne. Avec $z = \log(y)$, on obtient $z = 1$ ; $1{,}301$ ; $1{,}602$ ; $1{,}903$ ; $2{,}204$ : $z$ augmente de 0,301 à chaque pas, les points $(x ; z)$ sont alignés et $z = 0{,}301x + 1$ (ici $R^2 = 1$). On revient ensuite à $y$ par $y = 10^{z}$.
À retenir : Choisir le modèle d'après la forme du nuage ; avec un changement de variable $z = \log(y)$ (ou celui indiqué), on fait un ajustement affine de $z$ en fonction de $x$, on juge sa pertinence avec $R^2$, puis on revient à $y$ avec $y = 10^{z}$.
Applications au contrôle qualité
En usine, on mesure deux caractéristiques d'un produit (par exemple, la longueur ET l'épaisseur d'une pièce) pour vérifier que tout est conforme. La régression linéaire aide à détecter les problèmes de production.
Exemple
Un fabricant de barres d'acier mesure la longueur et la résistance de chaque barre produite. Si une barre s'écarte trop de la relation attendue, c'est qu'elle est défectueuse.
À retenir : La droite de régression sert de référence : une observation trop éloignée signale un défaut de fabrication.
Applications à la gestion et prévisions
En gestion d'entreprise, on utilise la régression pour prévoir des chiffres futurs : ventes en fonction du budget publicitaire, productivité en fonction du nombre d'employés, etc. C'est un outil d'aide à la décision.
Exemple
Une startup internet analyse ses dépenses en marketing (x) et ses revenus (y) sur 6 mois. Elle trouve la droite de régression et peut estimer ses revenus futurs selon ses investissements publicitaires.
À retenir : La régression linéaire est un outil de prévision pour la gestion, mais il faut vérifier que la relation reste linéaire dans le futur.
Les points clés
- Une série à deux variables se représente par un nuage de points ; le point moyen G a pour coordonnées $(\bar{x} ; \bar{y})$
- L'équation $y = ax + b$ de la droite de régression s'obtient à la calculatrice ou au tableur ; la droite passe par le point moyen G
- Le coefficient de détermination $R^2$, compris entre 0 et 1 et donné par l'outil numérique, mesure la qualité de l'ajustement : plus il est proche de 1, meilleur est l'ajustement
- Interpolation = prévision dans la zone observée ; extrapolation = prévision en dehors (moins fiable)
- La droite de régression est le meilleur ajustement affine au sens des moindres carrés
- Les ajustements ne sont pas uniquement affines : avec un changement de variable (par exemple $z = \log(y)$), on se ramène à un ajustement affine et on juge sa pertinence avec le $R^2$ calculé entre les nouvelles variables
L'essentiel
La droite de régression $y = ax + b$ résume une relation affine entre deux variables et permet d'interpoler ou d'extrapoler prudemment ; quand le nuage n'est pas rectiligne, on choisit un autre modèle ou on se ramène à un ajustement affine par un changement de variable, en jugeant toujours la pertinence avec $R^2$.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un magasin note le nombre d'heures d'ouverture par jour (x) et le nombre de clients (y) pendant 5 jours : (7 ; 95), (8 ; 118), (9 ; 150), (10 ; 178), (11 ; 209). 1) Calcule les coordonnées du point moyen G. 2) Avec la calculatrice ou un tableur, on obtient une droite d'ajustement d'équation $y = 28{,}8x - 109{,}2$ et un coefficient de détermination $R^2 \approx 0{,}998$. Que peut-on dire de cet ajustement ? Vérifie que G appartient à la droite. 3) Estime le nombre de clients pour 9,5 heures d'ouverture, puis pour 12 heures. Laquelle de ces deux estimations est la plus fiable ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Pour 50 athlètes, on a relevé la taille et le poids. Le tableur donne une droite de régression du poids en fonction de la taille et un coefficient de détermination $R^2 = 0{,}85$. Interpréter ce résultat. Peut-on utiliser la droite de régression pour prévoir le poids d'un athlète à partir de sa taille ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →