Le théorème de Pythagore et sa réciproque en 4ème
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de le théorème de pythagore et sa réciproque pour les élèves de 4ème. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Théorème de Pythagore
- Réciproque du théorème de Pythagore
- Carrés parfaits de 1 à 144
- Définition de la racine carrée
- Utiliser la racine carrée pour calculer une longueur
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C'est une relation mathématique très importante pour les triangles rectangles.
Exemple
Imagine une échelle appuyée contre un mur. Le mur et le sol forment un angle droit. Si tu connais la hauteur à laquelle l'échelle touche le mur et la distance entre le pied de l'échelle et le mur, tu peux calculer la longueur de l'échelle avec cette formule.
À retenir : Dans un triangle rectangle : $a^2 + b^2 = c^2$, où c est l'hypoténuse.
La réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle la relation $a^2 + b^2 = c^2$ est vérifiée (où c est le plus long côté), alors ce triangle est forcément rectangle. C'est la réciproque du théorème : on l'utilise pour vérifier qu'un triangle est rectangle.
Exemple
Un menuisier veut vérifier qu'un coin de table est bien à angle droit. Il mesure les deux côtés et la diagonale. S'il peut vérifier que la formule est correcte, alors l'angle est bien droit.
À retenir : La réciproque permet de vérifier qu'un triangle est rectangle sans mesurer l'angle droit.
Les carrés parfaits de 1 à 144
Un carré parfait est un nombre qui est le résultat du produit d'un nombre entier par lui-même. Par exemple, $3 \times 3 = 9$, donc 9 est un carré parfait. Tu dois connaître tous les carrés parfaits jusqu'à 144.
Exemple
Quand tu poses des carreaux carrés au sol, si tu en mets 5 de largeur et 5 de longueur, tu as 25 carreaux au total. 25 est un carré parfait : $5^2 = 25$.
À retenir : Les carrés parfaits de 1 à 144 sont : $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100, 11^2=121, 12^2=144$.
La racine carrée d'un nombre
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a. On note la racine carrée avec le symbole $\sqrt{~}$. Par exemple, la racine carrée de 25 est 5 car $5 \times 5 = 25$.
Exemple
Un carré d'aire 100 cm² a un côté de 10 cm, car $10 \times 10 = 100$ : $\sqrt{100} = 10$.
À retenir : Pour $a$ positif, $\sqrt{a}$ est le nombre POSITIF qui, multiplié par lui-même, donne a : si $\sqrt{a} = b$, alors $b \geq 0$ et $b \times b = a$.
Utiliser la racine carrée pour calculer une longueur
Quand on utilise le théorème de Pythagore, on obtient souvent une équation du type $c^2 = 100$. Pour trouver c (la longueur), on utilise la racine carrée : $c = \sqrt{100} = 10$. C'est l'outil pour transformer un carré en longueur.
Exemple
Un coureur fait un parcours en L : il court 30 m vers l'est, puis 40 m vers le nord. La distance directe entre le départ et l'arrivée peut se calculer avec Pythagore, puis la racine carrée : $c^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$, donc $c = \sqrt{2500} = 50$ m.
À retenir : Pour trouver une longueur avec le théorème de Pythagore, il faut toujours utiliser la racine carrée à la fin.
Les points clés
- Le théorème de Pythagore s'applique UNIQUEMENT aux triangles rectangles
- La formule est $a^2 + b^2 = c^2$ où c est le côté le plus long (hypoténuse)
- La réciproque permet de vérifier qu'un triangle est rectangle
- Il faut connaître par cœur les carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144
- La racine carrée est l'opération réciproque du carré (pour les nombres positifs) : $\sqrt{100} = 10$ parce que $10^2 = 100$
- Pour calculer une longueur inconnue, on isole le carré, puis on prend la racine carrée
L'essentiel
Le théorème de Pythagore ($a^2 + b^2 = c^2$) permet de calculer une longueur inconnue dans un triangle rectangle, et la racine carrée est indispensable pour passer du carré à la longueur.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Un triangle ABC rectangle en A a les côtés AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse BC.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Trois longueurs sont proposées : 5 cm, 12 cm et 13 cm. Vérifie si elles peuvent former un triangle rectangle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →